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    ..省启东中学专题四万有引力定律和天体运动重点难点1．研究天体运动的基本方法：研究人造卫星、行星等天体的运动时,我们进行了以下近似：中心天体是不动的,环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用,这个引力提供环绕天体圆周运动的向心力．即G错误!=m2错误!=m2ωr=m2〔222〕rT2．卫星的速度、角速度、加速度、周期和轨道半径的关系①υ=,即线速度υ∝错误!；②ω=错误!,即角速度ω∝错误!;4242r3③T=,即周期T∝错误!,或错误!=,即开普勒第三定律;GMGM④a=错误!,即向心加速度a∝错误!3．"双星"和"黑洞""双星"是两颗相距较近,它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响,而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统．它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持距离L不变,是因为它们绕着共同"中心"以相同的角速度做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力．"黑洞"是近代引力理论预言的一种特殊天体,它的质量十分巨大,以致于其脱离速度有可能超过其空中的光速,因此任何物体都不能脱离它的束缚,即光子也不能射出．已知物体从地球上的脱离速度〔即第二宇宙速度〕是υ=错误!,故一个质量为M的天体,若它是一个黑体,则其半径R应有：R≤错误!．规律方法[例1]由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律,因此引力场和电场之间有许多相似的性质,在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度,其定义式为E=错误!,在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M,半径为R,地球表面处重力加速度为g,引力常量为G．如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点,则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是〔AD〕A．GMmB．G(2R2(2R2C．GMmD．错误!2(2R训练题在某星球表面以初速度υ0竖直上抛一个物体,若物体受到该星球引力作用,忽略其他力的影响,物体上升的最大高度为h,已知该星球的直径为d,如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星,其做匀速圆周运动的最小周期为A．〔A〕20dhB．0dhC．20hdhD．d0[例2]已知万有引力常量是G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运动周期为T1,地球的自转周期为T2,地球表面的重力加速度g,某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法：1/5
    ..2242h3同步卫星绕地心作圆周运动,由G错误!=m〔〕h,得M=T2GT22〔2〕请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．〔1〕请判断上面的结果是否正确,并说明理由,如不正确,请给出正确的解法和结果．[解析]〔1〕地球半径约为6400km,同步卫星的高度约为36000km．计算同步卫星轨道半径时,就不能忽略地球的半径．故题中的结果是错误的．2242(Rh3正确的解法和结果是：由G错误!=m〔〕〔R+h〕,得：M=T2GT222242r3〔2〕方法一：由月球绕地球做圆周运动,有：G错误!=m〔〕r,得：M=2T1GT1方法二：在地面附近重力近似等于万有引力,由错误!=mg-1122得：M=错误!．训练题已知物体在质量为M、半径为R的星球表面脱离的速度为υ=错误!,其中G=6.67×10N·m/kg．黑洞是一种质量十分巨大的特殊天体,因此任何物体〔包括光子〕都不能脱离它的束缚．〔1〕天文学家根据天文观测认为：在银河系中心可能存在一个大黑洞,它的引力使距该黑洞60亿千米的星体以2000km/s速度绕其旋转,若视星体做匀速圆周运动,试求该黑洞的质量．〔2〕若黑洞的质量等于太阳的质量M=2×10kg,求它的可能最大半径．〔3〕在目前的天文观测围,宇宙的平均密度为10kg/m,若视宇宙是一个均匀的大球体,光子也不能逃离宇宙,则宇宙的半径至少应为多少?答案：〔1〕M=3．6×10kg〔2〕Rm=3×10m〔3〕R＞4×10m[例3]一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球做圆周运动,用摄像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ,飞船的飞行周期为T〔小于24h〕．试求摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积之比．〔万有引力常量为G；球体体积公式为V=错误!πr,r为球半径；球冠面积公式为S=2πrh,r为球半径,h为球冠高〕[解析]如图所示,设地球半径为r,卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分的球冠表面积是不能拍摄到的区域．325335-273342卫星绕地球运动,有：错误!=m2RT其中地球的质量为M,则M=错误!πrρ图中球冠的高为h,则h=r〔1-cosα〕其中cosα=错误!而球冠的总面积为S′=2πrh×2,地球的表面积为3S=4πr233解得摄像机所能拍摄到的总面积与地球表面积之比为错误!=1(．2GpT训练题宇宙飞船上的科研人员在探索某星球时,完成如下实验：①当飞船停留在距该星球一定的距离时,正对着该星球发出一个激光脉冲,经过时间t后收到反射回来的信号,并测得此时刻星球对观察者的眼睛所视角为；②当飞船在该星球着陆后,科研人员在距星球表面h处以初速度vo水平抛2/52

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