江苏省如皋中学2020届高三创新班数学试卷202004

一、填空题

1．设M＝{m，2}，N＝{m+2，2m}，且M＝N，则实数m的值是　 　．0

2. 已知实数，且满足，则_______2

3. 已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为______4

4.已知，二次函数对于都恒有，又，使得成立，则的最小值________

5.已知AB是圆O：上的两点，。若M是线段AB的中点，则_________3

6. 过直线上一点P，作圆的两条切线，切点分别为，若，则PA=________

7. 在 ABC中，，若角A的最大值为，则实数 的值是　3

8. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.

9. 已知夹角为的两个单位向量，向量满足，则的最大值为_______

10.已知长方体,过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为_________

11. 已知数列满足，则 __________

12.若，是函数，的两个极值点，且，则的取值范围为__________．

13. 已知，分别为其左右焦点，为上任意一点，为 平分线与x轴交点，过作垂线，垂足分别为M,N,求的最大值_______

14. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围 _______________

二‘解答题

15.（本小题满分14分） 已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）在中，角的对边分别为，若，，，

求的值.

解析：（1）由已知得所以周期

所以

所以

单调递减区间

（2）由已知由于

所以，

，由正弦定理得

所以

16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，点为的中点，.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面.

【答案】(1) 如图，连结，交于，连结.

因为四边形为矩形，

，所以为的中点，

又是的中点，

所以，在中，.

又平面，平面，

所以平面. ….6分

(2) 因为四边形为矩形，所以.

因为，则.

又，、平面，

所以平面.

又平面，所以.

在矩形中，，所以.

又平面底面，平面底面，

平面，以平面.

17. （本小题满分14分）如图所示，射线在第一象限，且与轴正向的夹角为45°，动点在射线上，动点在轴正向上，的面积为定值。[

（1）求线段的中点的轨迹的方程；

（2）设是曲线上的动点，点到轴的距离之和为1。若为点到轴的距离之积，问是否存在最大的常数，使得恒成立？若存在，求出这个的值，若不存在，请说明理由。

解析：（1） 设，则，

所以所以

所以

（2）设，

因为，所以

令在减，在增，

所以，即

于是，则

18.（本小题满分16分）

19.（本小题满分16分）

20.（本小题满分16分）

设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列；

（2）设数列前项和为，求证：为定值；

（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

解：（1）当时，，解得.

当时，，

即.

因为，所以，

从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）因为，所以，

故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，

从而，

，

所以.

（3）假设中存在第项 成 等差数列，

则，

即.

因为，且，所以.

因为，

所以，故矛盾，所以数列中不存在三项成等差数列.