全等三角形

一、全等三角形

1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

特征：形状相同、大小相等、完全重合。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。平移、翻折、旋转前后的图形全等。

2、全等三角形的表示：

“全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。

注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角

3、全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

4、全等三角形的判定

（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）

（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）

（3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）

（4）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）

（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）

5、证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线

1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意的问题

（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。

（一） 三角形全等的判定一（SSS）

1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？

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２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．

求证△ACD≌△CBE．

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３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．

４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：∠B=∠D.

５．如图，AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF. 求证：BE＝DF.

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（二） 三角形全等的判定二（SAS）

1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．

2．如图，△ABC≌△，AD，分别是△ABC，△的对应边上的中线，AD与有什么关系？证明你的结论．

3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．

4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．

5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB．

6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE．

7．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，且AB=DE，BE=CF. 求证：AC∥DF．

8．已知：如图，AD是BC上的中线，且DF=DE．求证:BE∥CF．

9．如图，在△ABC中，分别延长中线BE、CD至F、H，使EF＝BE，DH＝CD，连结AF、AH．

求证：（1）AF＝AH；

（2）点A、F、H三点在同一直线上；

（3）HF∥BC.

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10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连结AD、BF，CF＝CD. 求证：BF＝AD，BF⊥AD.

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11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）

12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．

13.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：(1)AE=BF；（2）AE⊥BF.

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14．已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）

15.如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.

（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；

（2）探索DC与BE的夹角的大小；

（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系.

（三）（四） 三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）

1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．

2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．

求BE的长．

3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.

求证：AE=CE.

4．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB.

5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于点F，过F作FD∥BC交AB于点D. 求证：AC＝AD.

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6．如图，AD∥BC，AB∥DC，MN＝PQ. 求证：DE＝BE.

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7．如图, 在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.

（1）求∠ABC与∠C的度数；（2）求证：BC＝2AB.

8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE；

（2）求证：E是CD的中点；

（3）求证：AD+BC=AB.

9．已知，如图Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABD的平分线交AD于E点，EF∥AC，求证：AE=EF.

10．△ABC是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC.

（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN.

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（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N. 问DM和DN有何数量关系？

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11．已知：C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x轴于B.

（1）求证：CA＝CB；

（2）问OB－OA是否为定值，是定值并求其定值.

12．已知A（－4，0），B（0，4），C（0，－4），过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。

（1）求证：OM＝ON；

（2）连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，求M与N的坐标。

（五） 三角形全等的判定五（HL）

1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：(1)BD=CD；(2)∠BAD＝∠CAD．

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2．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．

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3．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．

求证：（1）；（2）．

4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC

5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：AD是△ABC的角平分线．

（六） 角的平分线的性质

1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．

求证∠1=∠2．

2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．

3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：AD是△ABC的角平分线．

4．如图，在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.

（1）求∠ABC与∠C的度数；

（2）求证：BC＝2AB.

（七）倍长中线法与截长补短法

1．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（ ）.

A.1<<4 B.3<<5 C.2<<3 D.0<<5

2．AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是 .

3．如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.

（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；

（2）探索DC与BE的夹角的大小；

（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系.

4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

5．如图△ABC中，∠A=500，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，求∠BOC的度数.

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6．△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？

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7．已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2， 求证：BC=AB+AD．

（分别用截长法和补短法各证一次）

8．已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，∠B＝∠D＝90°．

（1）如果BE＋DF＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．

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（2）如果∠EAF＝45°，求证：①BE＋DF＝EF．②FA平分∠DFE．

（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF－BE＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（画图并证明）

（八） 全等三角形检测

一、选择题：

1.在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D，∠B=∠E，要使△ABC≌△FED，还需要的条件是（ ）

A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F

2.如图：AB∥CD，AD∥BC，AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F点，那么图中全等三角形共有（ ）

A.5对 B.6对 C.7对 D.8对

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3.如图，D在AB上，E在AC上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）

A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC C.BE=CD D.AB=AC

4.如图：某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）

A.带①去 B.带②去

C.带③去 D.带①和②去

5.下列说法中，正确的个数是（ ）

①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（ ）.

A.1<<4 B.3<<5 C.2<<3 D.0<<5

7.下列四个命题: ①直角三角形只有一条高线；②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.等腰三角形周长为，一腰的中线将周长分成5:3两部分,则它的底边长为（ ）.

A. B. C.或　 D.

9.下列条件中，能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是( ）.

①顶角和一条腰对应相等； ②一条腰和底边对应相等；

③顶角和底边对应相等； ④两条腰和底角对应相等．

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.已知：如图，BD为△ABC的的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足. 下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF. 其中正确的是( ).

A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④

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11.如图：已知AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC则下列结论：①∠DAC=∠BAE；②△DAC≌△BAE；③DC⊥BE；④MA平分∠DME；⑤△BMC≌△CEA；正确个数是（ ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

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12.如图P是等腰Rt△ABC斜边AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥EF于G，在GP的延长线上取一点D,使PD=PB,则BC与DC关系是（ ）

A.BC=DC B.BC=DC，且BC⊥DC C.BC>DC D.BC⊥DC

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二．填空题：

13.AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是 .

14.如图△ABC中，∠A=500，AB>AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，则∠BOC的度数为 .

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15.已知：如图，点A在线段DE上，点F在线段AB上，且∠1=∠2=∠3，要使得△ABC≌△EDC，需要添加的一个条件是

_____________(只需写出一个满足的条件)

16.已知△ABC中，高AD与高BE交于H点，BH=AC，则∠ABC的度数等于 .

17.如图，∠1=∠2=25°，∠3=∠4，∠5=∠6，则∠7= .

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18.有一张等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度.

三．解答题：

19．如图，已知：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．

求证：△ABD≌△ACE．

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20．如图，AB＝AD，BC＝DE，∠1＝∠2.

求证：（1）AC＝AE；（2）∠CAE＝∠CDE.

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21．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.

word/media/image65_1.png求证：AF＝EF．

22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=（AB＋AD）．

（1）求证：BC=DC；（2）求∠ABC＋∠ADC的度数．

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23．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形，BF与CE相交于O．

①求证：BF=EC．②求∠EOB的度数．③求证：OA平分∠EOF．

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