第三学期《数学分析》期末试题

一、 选择题：（15分，每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（ ）

A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件

2、（ ）

A ； B ；

C ； D。

3、函数f(x,y)在（x0,,y0）可偏导，则（ D ）

A f(x,y)在（x0,,y0）可微 ； B f(x,y)在（x0,,y0）连续；

C f(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。

4、的二重极限和二次极限各为（ B ）

A、0，0，0； B、不存在，0，0，； C、0，不存在，0； D、0，0，不存在。

5、设，则（ A ）

A、0； B、1； C、-1； D、2。

二、计算题（50分，每小题10分）

1、 证明函数 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；

2、 设；

3、 设有隐函数,其中的偏导数连续,求、；

4、 计算，其中是任一条以为起点、为终点的光滑曲线；

5、 计算，其中为在的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函数；

2、说明对任意均一致收敛；

3、验证函数

在原点（0，0）分别对每个自变数(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.

四、（11分）求由方程组确定的隐函数处的一阶导数。

部分题目参考答案：

二、1、证明：（4分）=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又，存在切等于0，（4分）但不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

二、2、解

由于，所以 .

二、3、   [解法 1]  由隐函数、复合函数求导法

   [解法 2]  利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

                       ， 

，故       .

由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.

二、4、 解  令=，=，则 ==,故被积表达式一定有原函数，注意到=,知 

  = 是的一个原函数，故由定理21.13，有

=  =.

二、5、解  曲面在平面上的投影区域，而，于是曲面的面积微元

所以  

（在极坐标系下计算）  

   .

三、1、解 由于所以曲线积分与路线无关. 现在求 取为沿平行于轴的直线到，再沿平行于轴的直线到，最后沿平行于轴的直线到.于是

其中是一个常数，若取为原点，则得

三、2、解 当收敛，所以关于一致收敛.而积分是定积分，所以一致收敛.

三、3、证明 ，与，即在原点（0，0）分别对都连续

当时，却有，即在原点（0，0）不连续（其实在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.

四、解 方程两边对x求导有

，代入（1）有：，所以，.