《余弦定理》教学设计

南海艺术高级中学 胡辉

一．教学目标

知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

二．教学重点和难点

重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。

三．教学过程

（一）知识回顾

1.正弦定理：

2.运用正弦定理能解决的两类解三角形问题：

（1）已知三角形任意两角和一边解三角形

（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形

（二）提出问题

1．实际问题

武广高铁（武广客运专线）路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧洞。挖隧洞就涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度。而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？（用PPT投影出小山丘）

2．技术人员的办法

工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。若测得AB=300m、AC=400m，张角A=则BC？（配合PPT演示）

3．提出问题

技术人员是怎么得到山脚BC的长度的呢？

（三）分析问题

1．问题化归

问题转化为在中已知AB=300m，AC=400m， A=要求BC边长的的数学问题。

2．问题探索

问：这是一个解三角形的问题，那么我们可以用已学的解三角形知识解决吗？

（学生很快便会发现找不到一组对边和对角无法运用正弦定理解决）

3．问题一般化

更一般的，问题可转化为已知三角形两边长和夹角求第三边的问题，即：在中已知AC=b，AB=c和A，求a。

（四）解决问题

1．定理推导

在中，设，

那么，则，问题转化为

已知：和与的夹角A且

求.

即：

2．自主探究

（1）、在中已知：求。

（2）、在中已知：。

3．归纳总结

（1）余弦定理

在中有：

（2）定理描述

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

（3）定理应用

已知三角形的两边及其夹角可以求解三角形

2． 问题解决

在中，已知，求.

解：根据余弦定理：

故

3． 问题探究

在中，已知，求

解：由余弦定理得：

（五）理论创新

1．探索

在中已知a=5，b=7，c=8，求B。

（若有同学答则顺势引出推论，若不能作答则由老师引导推出推论，然后返回解决该问题）

2．定理推论：

推论应用：已知三角形三边求解三角形

3． 问题探究

在中，已知：

（1）、试求最大角的余弦值（2）试判断该三角形形状

解：(1)由大边对大角可得在中最大角为

由余弦定理得：

(2) 为锐角

为锐角三角形

（六）理论实践

1．在中，已知，，，求b。

2．在中，已知是判断三角形形状。

3．在中，已知求。

（七）小结

1.定理的证明 2.定理和推论 3.定理的应用

（八）作业

1.复习 2.《师说》 3.预习

四．板书设计