八年级数学下知识点总结
函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法:用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线。
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。(如下图)
4. 正比例函数的性质
一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
四边形
一 基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线.
二 定理:中心对称的有关定理
※1.关于中心对称的两个图形是全等形.
※2.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
※3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.
三 公式:
1.S菱形 =ab=ch.(a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ,h为c边上的高)
2.S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边,h为a上的高)
3.S梯形 =(a+b)h=Lh.(a、b为梯形的底,h为梯形的高,L为梯形的中位线)
四 常识:
※1.若n是多边形的边数,则对角线条数公式是:.
2.规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似”.
3.如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4.常见图形中,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ;仅是中心对称图形的有:平行四边形 …… ;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意:线段有两条对称轴.
※5.梯形中常见的辅助线:
※
一元二次方程
1、一元二次方程:
① 概念:只含有一个未知数,且可以化为(a ,b ,c为常数,且)的整式方程叫做一元二次方程。
是一元二次方程的一般形式。其中,、、分别叫做一元二次方程的二次项、一次项、常数项;、分别叫做一元二次方程的二次项、一次项的系数。
(强调:项和系数要包括前面的符号)
构成一元二次方程的条件:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)二次项系数不能为0;(4)未知数的最高次数为2.
② 注意事项:
(1)二次项系数是一般形式的重要组成部分。
(2)二次项、一次项和常数项都是在一般形式下定义的,判断各项系数时,必须先将方程方程化为一般形式。
(3)任何一个一元二次方程均可经过整理(去括号、移项、合并同类项)均可化为一般形式。
2、一元二次方程的解法
⑴直接开平方法解一元二次方程:
①如的方程都可以用开平方的方法求出它的解,这种解法叫做直接开平方法
②利用直接开平方法所解的一元二次方程的结构特点:经过整理、变形后得到等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负数;
③理解直接开平方法的理论依据是平方根的定义。
⑵用配方解一元二次方程:
①把一个二次三项式组成完全平方式的变形过程,叫做配方,用配方法求一元二次方程的解的方法叫做配方法。
②配方法解一元二次方程是以配方为手段,以直接开平方为基础的一种解一元二次方程的基本方法。
③用配方法解一元二次方程的步骤:
㈠二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;
㈡移项:方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;
㈢配方:方成左右两边同时加上一次项系数一半的平方,使方程左边变成一个完全平方式,右边是一个常数;
㈣求解:如果右边常数是非负数,就用直接开平方法解一元二次方程。
⑶用公式法解一元二次方程:
①方程的求根公式:,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
②利用求根公式解一元二次方程的步骤:
㈠把方程整理为一般形式,确定的值;
㈡计算的值;
㈢当时,把和的值代入求根公式计算,从而求出方程的解。
③求根公式专指一元二次方程的求根公式,只有确定方程是一元二次方程时,才可以使用
④公式法是解一元二次方程的一般解法
⑷用因式分解法解一元二次方程
①利用因式分解的方法求出一元二次方程的解,这种解方程的方法叫因式分解法
②因式分解法的理论依据:两个因式的积等于0,那么这两个因式中至少有一个等于零,即或。
③用因式分解法所解的一元二次方程的结构特点:等号一边的代数式可以做因式分解,另一边为0.
④利用因式分解法解一元二次方程的步骤:
㈠将方程的右边化为一;
㈡将方程的左边分解为两个一次因式乘积的形式;
㈢令两个因式分别为0,得到两个一元一次方程;
㈣分别解两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
3、一元二次方程解法的顺序:
先特殊,后一般,先考虑是否用直接开平方法和因式分解法解,不能用这两种方法时,再用公式法和配方法。当二次项系数为一,一次项系数为偶数时,用配方法方便。
4、根的判别式
把叫做一元二次根的判别式,记作△=, ,若方程有两个不相等的实数根△>0;
有两个相等的实数根△=0
没有实数根△<0
有两个实数根△(此时两根可能等,也可能不等)。
5、一元二次方程的应用
列方程解应用题,应透彻理解题意,寻找等量关系。
列方程时,要注意列出的方程必须满足以下三个条件:
⑴方程左右两边表示同类量;
⑵方程左右两边的同类量的单位一样;
⑶方程两边的数值相等。
※增长率问题公式
增长后的数=基数(1+增长率)(n 指增长的次数)
降低后的数=基数(1-增长率)(n 指降低的次数)
※长方体、正方体体积公式
※ 根据题的实际意义对方程的根进行取舍。
方差与频数分布
极差
方差 用计算器计算
标准差 比较事物的有关性质
频率
频数分布表
频数分布图
数据的波动
一、极差
1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差,叫做这组数据的极差;
2、极差=数据中的最大值—数据中的最小值。
二、方差
1、在一组数据中,各数据与他们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差,常用来表示,即:
2、方差的三种公式:
基本公式:
化简公式:
化简公式的变形公式:
3、设化简后的新数据组的方差为设的方差为(其中),则;
4、方差的作用:用于表述一组数据波动的大小,方差越小,该数据波动越小,越稳定。
三、标准差
1、方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,即:
;
2、标准差用于描述一组数据波动的大小;
3、标准差的单位与原数据的单位相同。
四、方差与标准差的关系
1、;
2、与的作用相同、单位不同。
五、频数分布与频数分布图
1、数据的分组整理
组限、组距和组数:
把一套数据分成若干个小组,累计各小组的数据个数。期中每个分数段是一个“组区间”,分数段两端的数值是“组限”,分数段的最大值与最小值的差是“组距”,分数段的个数是组数”.
2、频数、频率与频数分布表、频数分布图
①每个小组的数据的个称为这组数据的频数;
②频率:每个小组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率;
③频率的计算公式:
每组的频率=这组的频数/数据的总个数
④各小组的频数之和等于数据总数;各小组的频数之和等于1.
¥29.8
¥9.9
¥59.8