第一节数列的概念及其简单表示法

1．数列的有关概念

2．数列的表示方法

3．an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

则an＝

4．数列的分类

[小题体验]

1．数列－1，，－，，…的一个通项公式是________．

解析：－1＝－，数列1,4,9,16，…对应通项n2，数列1,3,5,7，…对应通项2n－1，数列－1,1，－1,1，…对应通项(－1)n，故an＝(－1)n·.

答案：an＝(－1)n·

2．已知数列满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则a5＝________.

解析：a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255.

答案：255

3．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．

答案：4或5

4．若数列的前n项和Sn＝n2＋3n，则＝________.

解析：∵数列的前n项和Sn＝n2＋3n，

∴a1＋a2＋a3＝S3＝32＋3×3＝18，

∵a4＋a5＋a6＝S6－S3＝36，∴＝2.

答案：2

1．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．

[小题纠偏]

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.

又a1＝－1不适合上式，故an＝

答案：an＝

2．若数列的前n项和Sn＝an＋，则的通项公式an＝________.

解析：由Sn＝an＋得，当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，

两式相减，得an＝an－an－1，

∴当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.

又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，

∴数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，

∴an＝(－2)n－1.

答案：(－2)n－1

[题组练透]

1．若an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．

解析：法一：(函数观点)因为为单调递增数列，所以an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞n2＋λn＋3，化简为λ＞－2n－1对一切n∈N*都成立，所以λ＞－3.

故实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．

法二：(数形结合法)因为为单调递增数列，所以a1＜a2，要保证a1＜a2成立，二次函数f(x)＝x2＋λx＋3的对称轴x＝－应位于1和2中点的左侧，即－＜，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．

答案：(－3，＋∞)

2．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)0.9n，求n为何值时，an取得最大值．

解：因为a1＝2×0.9＝1.8，a2＝3×0.81＝2.43，

所以 a1＜a2，

所以 a1不是数列{an}中的最大项．设第n项an的值最大，

则即解得

所以当n为8或9时，an取得最大值．

[谨记通法]

求数列中最大或最小项的2种方法

(1)单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．

(2)不等式组法：若满足则an为数列{an}中的最大项；若满足则an为数列{an}中的最小项．

[典例引领]

已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．

(1)Sn＝2n2－3n；

(2)Sn＝3n＋b.

解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5.

(2)a1＝S1＝3＋b，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.

当b＝－1时，a1适合此等式．

当b≠－1时，a1不适合此等式．

所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；

当b≠－1时，an＝

[由题悟法]

已知Sn求an的 3个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

[即时应用]

已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.

解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)

＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]

＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，

所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]

＝2·3n－1＋2，

由于a1不适合此式，

所以an＝

[锁定考向]

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．

常见的命题角度有：

(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；

(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；

(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.　　　 　

[题点全练]

角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an

1．已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：∵an＋1＝2nan，∴＝2n，当n≥2时，an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2.又a1＝1也符合上式，∴an＝2.

答案：2

角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an

2．已知a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

解：由an＝an－1＋(n≥2)，得an－an－1＝－(n≥2)．则a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－.将上述n－1个式子累加，得an＝2－.当n＝1时，a1＝1也满足，故an＝2－(n∈N*)．

角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an

3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．

解：因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，

所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，

又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，

所以an＝2·3n－1－1(n∈N*)．

[通法在握]

典型的递推数列及处理方法

[演练冲关]

根据下列条件，求数列{an}的通项公式．

(1)满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)；

(2)满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2)．

解：(1)由a1＝1，an－an－1＝3n－1(n≥2)，得a1＝1，a2－a1＝3，a3－a2＝32，…，an－1－an－2＝3n－2，an－an－1＝3n－1，以上等式两边分别相加得an＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.当n＝1时，a1＝1也适合，∴an＝.

(2)an＝·an－1(n≥2)，an－1＝·an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当n＝1时也满足此等式，

∴an＝.

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1．(2018·南通期末)已知数列的前4项为1，－，，－，则数列的一个通项公式为______________．

解析：根据题意，数列的前4项为1，－，，－，

则a1＝(－1)1＋1×＝1，a2＝(－1)2＋1×＝－，

a3＝(－1)3＋1×＝，a4＝(－1)4＋1·＝－，

以此类推可得：an＝(－1)n＋1·.

答案：an＝(－1)n＋1·

2．(2018·盐城二模)已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________________.

解析：当n≥2时，an＝2Sn－1，

∴an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，

即an＋1＝3an，

∵a2＝2a1＝2，

∴an＝2·3n－2，n≥2.

当n＝1时，a1＝1，

∴数列的通项公式为an＝

答案：an＝

3．(2018·苏州期中)已知数列的通项公式为an＝5n＋1，数列的通项公式为bn＝n2，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，则c6的值为________．

解析：∵数列的通项公式为an＝5n＋1，

∴数列中数据符合平方的数有：16,36,81,121,196,256.

∵数列的通项公式为bn＝n2，

当n＝4,6,9,11,14,16时符合上面各个数．

∴数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，c6的值为256.

答案：256

4．(2019·南通第一中学测试)已知数列{an}对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝6，则a10＝________.

解析：a4＝a2＋a2＝12，a6＝a4＋a2＝18，a10＝a6＋a4＝30.

答案：30

5．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．

解析：因为Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，

得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，

令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，

则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.

答案：－1

6．(2018·无锡期末)对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.

解析：因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.

答案：8

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1．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，则通项公式an＝________.

解析：因为an＋an＋1＝，a2＝2，所以a1＝－，a3＝－，a4＝2，

所以an＝

答案：

2．(2018·启东中学调研)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则连乘积a1a2a3…a2 017a2 018＝________.

解析：因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，所以数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4＝1，所以a1a2a3…a2 017a2 018＝a2 017·a2 018＝a1·a2＝－6.

答案：－6

3．(2019·苏州模拟)在数列中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2 018＝________.

解析：∵任意连续三项的和都是15，

∴an＋an＋1＋an＋2＝15，同时an＋1＋an＋2＋an＋3＝15，

则an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，即an＋3＝an，

即数列是周期为3的周期数列，则由a4＝1，a12＝5，

得a4＝a1＝1，a12＝a9＝a6＝a3＝5，则由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝9，

∴a2 018＝a672×3＋2＝a2＝9.

答案：9

4．(2018·常州期中)已知数列的通项公式an＝，则中的最大项的值是________．

解析：an＝＝≤＝，当且仅当n＝6时取等号，

则中的最大项的值为.

答案：

5.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．

a1

a2　a3

a4　a5　a6

……

解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.

答案：97

6．(2018·常州第一中学检测)已知{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为________．

解析：由已知条件可知，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．所以an＝n2－n＋33，n∈N*，所以＝n＋－1.令f(n)＝n＋－1，则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝，f(6)＝，则f(5)＞f(6)，故f(n)＝的最小值为.

答案：

7．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.

解析：由题意知＝＝，

所以an＝a1×××…×

＝1×××…×

＝

＝＝.

答案：

8．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n＝________.

解析：因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.

答案：9

9．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得

a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理，a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，

所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

10．已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，在数列{bn}中，bn＝.

(1)求公差d的值；

(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；

(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．

解：(1)因为S4＝2S2＋4，所以4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.

(2)因为a1＝－，

所以数列{an}的通项公式为an＝－＋(n－1)×1＝n－，

所以bn＝＝1＋＝1＋.

因为函数f(x)＝1＋在和上分别是单调减函数，

所以b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，

所以数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.

(3)由bn＝1＋，得bn＝1＋.

又函数f(x)＝1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，且x＜1－a1时，y＜1；

当x＞1－a1时，y＞1.

因为对任意的n∈N*，都有bn≤b8，

所以7＜1－a1＜8，所以－7＜a1＜－6，

所以a1的取值范围是(－7，－6)．

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1．(2018·通州期末)在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为an＝________.

解析：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，

而用21除余2的数我们首先就会想到23，而23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，

同时这个数相差又是3,5,7的最小公倍数，即3×5×7＝105，

所以该数列的通项公式可以表示为an＝105n＋23.

答案：105n＋23

2．数列{an}的通项公式为an＝n＋，若对任意的n∈N*都有an≥a5，则实数b的取值范围为________．

解析：由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式an≥a5恒成立，

所以即解得20≤b≤30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，＋∞)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，＋∞)上递增，符合题意．所以b∈[20,30]．

答案：[20,30]

3．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．

解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.

又由a＞0得a＝4，

所以f(x)＝x2－4x＋4.

所以Sn＝n2－4n＋4.

当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.

所以an＝

(2)由题意得cn＝

由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.

又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，

即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0，

所以数列{cn}的变号数为3.