2017绵阳市一诊数学试卷（理科）

一、选择题（共60分）

1．（5分）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（　　）

A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}

2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（　　）

A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0

C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0

3．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

4．（5分）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．

5．（5分）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：

优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；

优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；

优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．

若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（　　）

A．300元 B．400元 C．500元 D．600元

7．（5分）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个

8．（5分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（　　）

A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2α

C．cos2β+2cos2α=0 D．cos2β=2cos2α

9．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为an（n∈N*），则a3+a4+a5=（　　）

A．7 B． C． D．14

10．（5分）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（　　）

A． B． C．2 D．1

11．（5分）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）

二、填空题

13．（5分）若向量满足，则x=　　．

14．（5分）公差不为0的等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=　　．

15．（5分）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是　　．

16．（5分）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是　　．

三.解答题（共70分）

17．（12分）函数的图象（部分）如图．

（1）求f（x）解析式

（2）若，求cosα．

18．（12分）设数列{an}前n项和为Sn，已知Sn=2an﹣1（n∈N*），

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，不等式k（Sn+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．

19．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．

①若cosA=，求△ABC的面积S；

②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．

20．（12分）f（x）=xsinx+cosx；

（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）

（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=ex﹣e．

（1）讨论f（x）的单调区间；

（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

[极坐标与参数方程]

22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．

（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；

（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．

2017绵阳市一诊数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共60分）

1．（5分）（2016秋•天水期末）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（　　）

A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}

【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．

【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，

且集合A={x|﹣2＜x＜3}，

∴A∩B={1，2}，

故选A．

【点评】本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．

2．（5分）（2015•唐山二模）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（　　）

A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0

C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．

故选：D．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

3．（5分）（2017春•北市区校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．

【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，

设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，

由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，

∴a9=a5+4d=5+4×1=9．

故选：B．

【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了上厕所了的前n项和，是基础的计算题．

4．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．

【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．

【解答】解：x，y对应的可行域如图：z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A（1，0）时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为2×1+0=2；

故选C．

【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是关键．

5．（5分）（2016秋•绵阳月考）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可．

【解答】解：＜1，即p：x＞0；

命题q：lnx＜1，即：0＜x＜e，

则p是q成立的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．

6．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：

优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；

优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；

优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．

若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（　　）

A．300元 B．400元 C．500元 D．600元

【分析】根据条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价．

【解答】解：设标价为x元，则（x﹣200）×20%＞x×10%且（x﹣200）×20%＞30，

∴x＞400，即他购买的商品的标价应高于400元．

故选B．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

7．（5分）（2016秋•绵阳月考）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个

【分析】根据两角和差的正弦公式求得 f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：由于函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），

故将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得 f（x）=2sin（2x+）的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

8．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（　　）

A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2α

C．cos2β+2cos2α=0 D．cos2β=2cos2α

【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得1+sin2θ=4sin2α，再利用二倍角公式化简可得cos2α=cos2β，

从而得出结论．

【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，

∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2•=4•，

化简可得cos2α=2cos2β，

故选：D．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．

9．（5分）（2016秋•绵阳月考）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为an（n∈N*），则a3+a4+a5=（　　）

A．7 B． C． D．14

【分析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．可得a1=f（），q=2，可得an，即可得出．

【解答】解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，

当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．

a1=f（）=，q=2，

∴an==2n﹣3，

∴a3+a4+a5=1+2+22=7．

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（5分）（2017春•金牛区校级月考）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（　　）

A． B． C．2 D．1

【分析】由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，根据角平分线的性质求得BD的值，再利用余弦定理求得AD的值．

【解答】解：在△ABC中，因为cosA=，AB=4，AC=2，

则由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA

=16+4﹣16×=18，解得BC=3，

所以cosB===，

根据角平分线的性质可得：

=，所以BD=，CD=，

由余弦定理得，AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB

=16+8﹣2×4××=4，则AD=2，

故选C．

【点评】本题考查了余弦定理，以及角平分线的性质的综合应用，考查化简、计算能力．

11．（5分）（2016秋•绵阳月考）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】梅涅劳斯定理，，，，求出m，n的关系，即可利用基本不等式求解2m+3n的最小值．

【解答】解：矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，

可得：，，

由梅涅劳斯定理，，，

可得：，即，

⇒2m+3n=5mn，

2m+3n≥，

解的：mn．

当且仅当2m=3n时取等号，

∴2m+3n=5mn≥

故选C．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用

12．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）

【分析】问题转化为ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，成立，x≠0时，a＞﹣﹣4（x﹣）﹣2，求出a的范围即可．

【解答】解：∵f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1＞0，

∴ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，

x=0时，成立，

x≠0时，a＞﹣x2﹣﹣4（x﹣）=﹣﹣4（x﹣）﹣2，

设x﹣=t，则a＞﹣t2﹣4t﹣2=﹣（t+2）2+2，

要使x≠0时a恒大于﹣（t+2）2+2，

则只需a比﹣（t+2）2+2的最大值大，

故a＞2，

综上，a＞2，

故选：A．

【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．

二、填空题

13．（5分）（2017•甘肃模拟）若向量满足，则x=　1　．

【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值．

【解答】解：∵，

∴，又，且，

∴x﹣1=0，即x=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直与坐标之间的关系，是基础的计算题．

14．（5分）（2017•全国模拟）公差不为0的等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=　13　．

【分析】设等差数列{an}的公差d≠0，由a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，可得2a1+2d=8，，联立解出即可得出．

【解答】解：设等差数列{an}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，

∴2a1+2d=8，，

解得a1=1，d=3．

则a5=1+3×4=13．

故答案为：13．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．（5分）（2016秋•绵阳月考）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是　x=e　．

【分析】求出函数的导数，根据f′（e2）=﹣=﹣，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．

【解答】解：f′（x）=，

故f′（e2）=﹣=﹣，解得：a=1，

故f（x）=，f′（x）=，

令f′（x）=0，解得：x=e，

经检验x=e是函数的极值点，

故答案为：x=e．

【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．

16．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是　（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）　．

【分析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3 在x＞0上为单调增函数知|3x﹣t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，5x2﹣6xt+t2≥0 恒成立问题．

【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3 在x＞0上为单调增函数，

f（3x﹣t）≥8f（x）=f（2x）；

|3x﹣t|≥|2x|；

∴（3x﹣t）2≥（2x）2；

化简后：5x2﹣6xt+t2≥0 ①；

（1）当t＞0时，①式解为：x≤ 或 x≥t；

对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：t≤2t﹣1

故t≥1；

（2）当t＜0时，①是解为：x≤t 或 x≥；

对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：2t+3≤t

故t≤﹣3；

（3）当t=0时，①式恒成立；

综上所述，t≤﹣3或t≥1或t=0．

故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．

【点评】本题主要考查了函数的基本性质，以及函数恒成立问题，属中等题．

三.解答题（共70分）

17．（12分）（2016秋•绵阳月考）函数的图象（部分）如图．

（1）求f（x）解析式

（2）若，求cosα．

【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，解出ω，求出，即可得到函数的解析式．

（2）利用已知条件转化求出角的正弦函数，利用角的变换，求解即可．

【解答】解：（1）由图得：A=2．

由，解得ω=π． …（3分）

由，可得，解得，

又，可得，

∴．…（6分）

（2）由（Ⅰ）知，

∴，

由α∈（0，），得∈（，），

∴． …（9分）

∴=

=

=． …（12分）

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，考查计算能力．

18．（12分）（2016秋•绵阳月考）设数列{an}前n项和为Sn，已知Sn=2an﹣1（n∈N*），

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，不等式k（Sn+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．

【分析】（1）求出数列的首项，利用an=Sn﹣Sn﹣1，求解数列的通项公式．

（2）由k（Sn+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，判断数列的单调性，求出最大项，然后求解实数k的取值范围．

【解答】解：（1）令n=1，S1=2a1﹣1=a1，解得a1=1．…（2分）

由Sn=2an﹣1，有Sn﹣1=2an﹣1﹣1，

两式相减得an=2an﹣2an﹣1，

化简得an=2an﹣1（n≥2），

∴数列{an}是以首项为1，公比为2 的等比数列，

∴数列{an}的通项公式．…（6分）

（2）由k（Sn+1）≥2n﹣9，整理得k≥，

令，则，…（8分）

n=1，2，3，4，5时，，

∴b1＜b2＜b3＜b4＜b5．…（10分）

n=6，7，8，…时，，即b6＞b7＞b8＞…

∵b5=＜，

∴bn的最大值是．

∴实数k的取值范围是．…（12分）

【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列与函数相结合，考查构造法以及函数的单调性的应用，考查计算能力．

19．（12分）（2016秋•绵阳月考）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．

①若cosA=，求△ABC的面积S；

②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．

【分析】①由，得，代入三角形面积公式求得△ABC的面积S；

②由，利用余弦定理求出，再由正弦定理求得sinB的值．

【解答】解：①由，得，

∴；

②由，

可得，

于是，

即，（1）

又O为△ABC的外接圆圆心，则，=，（2）

将（1）代入（2），得到=，

解得||=4．

由正弦定理得，

可解得sinB=．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理及其意义，训练了正弦定理和余弦定理在求解三角形问题中的应用，是中档题．

20．（12分）（2016秋•绵阳月考）f（x）=xsinx+cosx；

（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）

（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．

【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调性，根据零点的判定定理证明即可；

（2）求出． 令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可．

【解答】解：（1）f'（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，

∴x∈（2，3）时，f'（x）=xcosx＜0，

∴函数f（x）在（2，3）上是减函数． …（2分）

又，…（4分）

∵，

，

∴f（3）=3sin3+cos3＜0，

由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点．…（6分）

（2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx2+cosx，

整理得． …（7分）

令，则，

令g（x）=xcosx﹣sinx，g'（x）=﹣xsinx＜0，

∴g（x）在上单调递减，…（9分）

∴，即g（x）=xcosx﹣sinx＜0，

∴，即在上单调递减，…（11分）

∴，

即． …（12分）

【点评】本题考查了函数的零点判定定理，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．

21．（12分）（2016秋•绵阳月考）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=ex﹣e．

（1）讨论f（x）的单调区间；

（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

【分析】（1）求导得f'（x）=，对a进行分类讨论，然后解不等式，即可分别求出单调区间；

（2）构造新函数h（x）=m（ex﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），利用转化思想，将条件转化为对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，h'（x）=mex﹣（），则h'（1）=me﹣3．若h'（1）＜0，存在x∈（1，+∞），使得h（x）＜0，不符合条件；若h'（1）≥0，则h'（x）≥﹣﹣2x，利用导数可判断φ（x）=﹣﹣2x＞0在（1，+∞）上恒成立，即h'（x）＞0恒成立，则h（x）在（1，+∞）上单调递增，从而h（x）＞h（1）=0恒成立，故m的取值范围为[，+∞）．

【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），

f'（x）==

a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；

a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜；由f'（x）＜0，得x＞，

故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；

（2）a=1时，f（x）=lnx+x2﹣1

记h（x）=mg（x）﹣f（x）=m（ex﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），x∈（1，+∞），则h（1）=0，

∵对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，

∴对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，

h'（x）=mex﹣（），则h'（1）=me﹣3

若h'（1）＜0，即m＜，则存在x0∈（1，+∞），使得x∈（1，x0）时，h'（x）＜0，即h（x）在（1，x0）上单调递减，

此时h（x）＜h（1）=0，不符合条件；

若h'（1）≥0，即m≥，则h'（x）≥﹣﹣2x，

令φ（x）=（x＞1），

∵φ'（x）=＞＞0，

∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴φ（x）＞φ（1）=0，即h'（x）≥φ（x）＞0，

∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴h（x）＞h（1）=0，即对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，

综上可得，m≥．

【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题求解，再利用导数研究函的数最值，同时要注意对参数进行分类讨论．

[极坐标与参数方程]

22．（10分）（2016秋•西昌市校级月考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．

（2）参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可．

【解答】解：（1）由曲线C的原极坐标方程可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，

化成直角方程为y2=4x．…（4分）

（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，

整理得，…（7分）

∵t1•t2=﹣15＜0，于是点P在AB之间，

∴．…（10分）

【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（2016秋•西昌市校级月考）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．

（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；

（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．

（Ⅱ）函数f（x）的图象与直线y=x有3个不同的交点，数形结合可得a的范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+1，

∴当x≤﹣1时，f（x）=﹣1，不可能非负．

当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得x≥，于是≤x＜1．

当x≥1时，f（x）=3＞0恒成立．

∴不等式f（x）≥0的解集．…（5分）

（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为a=x+|x﹣1|﹣|x+1|．

令

作出图象如右． …（8分）

于是由题意可得﹣1＜a＜1．…（10分）

【点评】本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；qiss；sxs123；changq；刘老师；lcb001；caoqz；沂蒙松；左杰；wzhlq；叶老师（排名不分先后）

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2017年5月22日