球面三角形

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spherical triangle

spherical triangle





　　球面上的三个点，每两点之间用大圆劣弧相连接，三弧所围成的球面部分称为球面三角形。





　　球面三角形的面积公式：S=(A+B+C-π)R^2（A、B、C分别为球面三角形ABC的三内角，单位为弧度，R为球半径）。





　　平面三角形可视为球面三角形的特殊形式（极限）。





　　球面三角形的内角和不为180°。





　　

　　球面三角形余弦定律：在球面三角形中，任意一边所对应球心角的余弦等于其他两边各自对应球心角的余弦乘积加上这两边各自对应球心角的正弦及任意的那条边在球面三角形中对应角的余弦三项乘积。                       cosa=cosbcosc+sinbsinccosA





　　球面三角形正弦定律：在球面三角形中，任意一边所对应球心角的正弦





　　与该边所在球面三角形中的对应角的正弦的比值相等。





　　sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC

§3球面三角形的全等

在同球面或等球面上，两个球面三角形的对应边和对应角分别相等，则称这两个 球面三角形全等。判断两个平面三角形全等的条件有 SSS,SAS,ASA,AAS 等， 在平面几何中，如果两个三角形的三对对应角对应相等，则这两个三角形相似，它们的对应边长度成比例。 类似地判断两个球面三角形全等的条件有 SSS,SAS,ASA,AAA 等（其中 AAA 是平面几何中不具有，而球面几何中特有的全等条件。）。

下面我们讨论球面三角形全等的判定条件。

设 c 是球面上的大圆，点 P 和 关于 c 对称，点 Q 与 也关于 c 对称，这时 (P 、 Q 两点之间的球面距离 ) 和 （ 两点间的球面距离）有什么关系？ （如图 3-1 （ a ））

在立体几何中有一个镜面反射（也称面对称）的概念：

设 是一个平面， P 和 是位于 两侧的两点。如果线段 垂直平面 ，垂足为 T ，且 PT ，则称 P 和 关于平面 成镜面反射（或面对称）。

可以证明：若 P 和 ， Q 和 都关于平面 成镜面反射，则 PQ 。 （如图 3-1(b) ）

利用这个结论，可以证明：

定理 3.1 在球面上，若 P 和 ， Q 和 都关于大圆 c 对称，则。

我们知道，在平面上两个三角形如果关于一条直线对称，则它们一定全等。现在考虑球面三角形 ABC 和 。因为它们关于大圆 l对称，那么大圆弧 被大圆 l垂直平分（图 3-2(a) ）。

（a ) (b)

图 3-1

图 3-2

设球心 O 、 A 、 三点所确定的平面与 l所在平面交于直线 OE （图 3-2(b) ），不难看出： A 和 关于 l所在平面成镜面反射。同样地， B 和 ， C 和 都关于 l所在平面成镜面反射。

因此，三面角 O-ABC 与三面角 关于 l所在平面成镜面反射。所以，它们的三个面角分别相等，即

，

由此得到 。

这两个三面角的三个二面角也分别相等，由此得到

。

因此，球面三角形 ABC 球面三角形 。

即 在同一个球面上， 轴（大圆） 对称的两个球面三角形全等。

设在同球面或等球面上，有两个球面三角形 ABC 和 ，它们的三对对应边相等，即

。

如图 3-3(a) ，三角形 ABC 与三角形 顶点的顺序按逆时针方向是相同的。这时，由于它们在同球面上，可以通过移动使 A 与 重合， c 与 重合， B 与 必然重合。由于 ， ，所以 C 与 一定重合。因此，这两个球面三角形可以完全重合。

图 3-3

如图 3-3(b) ， ABC 与 按逆时针方向不相同，这时，先做 ABC 的对称球面三角形 ，由对称球面三角形的性质，有球面三角形 ABC 球面三角形 。 这时， 与 按逆时针方向相同且对应边相等，所以球面三角形 球面三角形 .于是，球面三角形 ABC 球面三角形 。

这样，我们就证明了以下定理。

定理 3.2 在同球面或等球面上，如果两个球面三角形的三对对应边相等，那么这两个球面三角形全等。我们把这个定理叫做球面三角形全等的“边边边”判定定理，简记为“ SSS ”。

同样地，还可以得到：

定理 3.3 在同球面或等球面上，如果两个球面三角形的两对对应边和它们的夹角对应相等，那么这两个球面三角形全等。（“边角边”，简记为“ SAS ”）

定理 3.4 在同球面或等球面上，如果两个球面三角形的两对对应角和它们的夹边对应相等，那么这两个球面三角形全等。（ “角边角”，简记为“ ASA ”）

为了证明球面三角形全等的条件 AAA ，下面介绍极对称三角形的边角关系。

定理 3.5 在单位球面上，设以 和 a,b,c 分别表示 的三个角度和边长，同样地以 和 分别表示其极对称三角形 的三个角度和边长，则有关系式

证明：如图 3-4 所示，

图 3-4

令 P , Q 分别是以 A 点为极点的经线 AC 和 AB 与赤道圆 的交点，所以 PQ 的弧长就等于 。再者， AC ,AB , 所以 , 这就说明了

同理可证

定理 3.6 在单位球面上，若 和 三内角对应相等，则其三边边长亦对应相等。

证明：由对偶性和定理 3.5 ，即可从假设

推论得

所以由 SSS 全等定理就得 和 全等。再用对偶性，即得 和 也全等。

事实上，在任意一个球面上若 和 三内角对应相等，则其三边边长亦对应相等。