22.2降次——解一元二次方程（2）

教学内容

本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。

教学目标

知识技能

探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．

数学思考

在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。

解决问题

渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．

情感态度

继续体会由未知向已知转化的思想方法．

重难点、关键

重点：用配方法解一元二次方程．

难点：正确理解把形的代数式配成完全平方式.

关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学准备

教师准备：制作课件，精选习题

学生准备：复习有关知识，预习本节课内容

教学过程

一、 复习引入

【问题】

（学生活动）请同学们解下列方程

（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±或mx+n=±（p≥0）．

如：4x2+16x+16=（2x+4）2

【活动方略】

教师演示课件，给出题目．

学生根据所学知识解答问题．

【设计意图】

复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．

二、 探索新知

【问题情境】

要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？

【活动方略】

学生活动：

学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．

考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为

x2+6x＋9=16＋9，

即（x＋3）2＝25，问题解决。

老师活动：

在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

【设计意图】

引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．

【思考】

利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？

（1）x2－8x + 1 = 0；

（2）；

（3）．

【活动方略】

学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x－4）2=15；

（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为；

（3）按照（2）的方式进行处理．

教师活动：

在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

（1）把方程化为一般形式；

（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

（3）方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

【设计意图】

主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．

三、 反馈练习

教材P39 练习第1、2题．

补充习题：

解下列方程．

（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0

　　【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.

四、 应用拓展

例：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6

整理，得：x2-14x+24=0

（x-7）2=25即x1=12，x2=2

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．

所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

【活动方略】

教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】

使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握配方法。

五、 小结作业

1．问题：

本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？

如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法．

2．作业：课本P45 习题22．2 　 第3题

　【活动方略】

教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．

学生独立完成作业，教师批改、总结．

【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。