2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案

无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第卷 （选择题, 共60分）

1、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合， ，则

A． B． C． D．

2．已知数列为等差数列，且，则

A． B． C． D．

3．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是

A．　 B．

C． D．

4．已知中，, , ,为边上的中点，则

A． B． C． D．

5．林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进

行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图，

下列描述正确的是

A．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 甲 乙

高度，且甲种树苗比乙种树长的整齐. 9 1 0 4 0

B．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 9 5 3 1 0 2 6 7

高度，但乙种树苗比甲种树长的整齐. 1 2 3 7 3 0

C．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均 4 4 6 6 7

高度，且乙种树苗比甲种树长的整齐.

D．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均

高度，但甲种树苗比乙种树长的整齐.

6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为.

则在吹东风的条件下下雨的概率为

A． B． C． D．

7．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：

“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七

七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国

剩余定理”. 若正整数除以正整数后的余数为，

则记为，例如.现将该问题

以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的等于

A．8 B．11

C．13 D．15

8．李大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的

A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值

为，则的最小值为

A． B． C． D．

10．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为

A． B．

C． D．

11．已知函数，

在的大致图象如图所示，则可取

A． B．

C． D．

12．已知 ，若有四个不同的实根，

且，则的取值范围为

　 A． B． C． D．

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．已知，且，则．

14．已知，则的展开式中常数项为__________．

15．数列的前项和为，满足，则 .

16．椭圆的左右顶点分别，过点作轴的垂线，点是直线上的一点，连接交椭圆于点，坐标原点为，且，则 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，且满足，.

（Ⅰ）求;

（Ⅱ）若求的面积.

18．（本小题满分12分）

某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额

（单位：千元）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：

（Ⅰ）求关于的回归方程；

（Ⅱ）设该地区4月份最低气温,其中近似为样本平均数，近似

为样本方差，求.

附： （1）回归方程中，，；

（2）

（3）若，则,

.

19．（本小题满分12分）

矩形中，，为线段中点，将沿折起，使得平

面平面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若点在线段上运动，当直线与平面所成角的正弦值为时，

求二面角的大小.

20．（本小题满分12分）

抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点.

（Ⅰ）若点，且直线的斜率分别为，求证：为定值；

（Ⅱ）设两点在抛物线的准线上的射影分别为，线段的中点为，

求证：.

21．（本小题满分12分）

已知自变量为的函数. 其中

,为自然对数的底,.

（Ⅰ）求函数与的单调区间, 并且讨论函数的单调性;

（Ⅱ）已知, 求证:

(ⅰ) 方程有两个根,;

(ⅱ) 若(ⅰ)中的两个根满足, , 则, .

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.

22．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）

已知圆锥曲线（为参数）和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点.

（Ⅰ）以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；

（Ⅱ）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.

23．选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）

设函数，

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.

2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试

数学试卷（理工）参考答案

一、选择题

二、填空题

13. 14. 84 15. 16.

三、解答题

17.（Ⅰ）

,

（Ⅱ）

18.（Ⅰ）

（Ⅱ）

19.（Ⅰ）设,则有，

满足，所以

由已知平面平面,平面平面,所以平面 平面,所以

（Ⅱ）以为原点，为轴，轴正方向，建立空间直角坐标系

则,设，，则, ,平面的法向量，有

，解得

所以，设平面的法向量为,则,解得

由第一问平面，,则平面的方向量

设二面角大小为

，则二面角的大小为.

20.（Ⅰ）设直线:，,

可得, ,

（Ⅱ）

,

即，所以直线与直线平行

21.（Ⅰ);

（Ⅱ）略

22.（Ⅰ）消参得,,

,化为极坐标方程：,

即

（Ⅱ）的参数方程：代入，

整理得：，

.

23.（Ⅰ）解:(1)当时,不等式即,

等价于①或, ②,或 ③.

解①求得 x无解,解②求得,解③求得,

综上,不等式的解集为.

（Ⅱ）由题意可得恒成立,转化为恒成立.

令， ，

易得的最小值为，令，求得.