应用有限差分法计算方同轴线的特性阻抗

熊江

（电子科技大学物理电子学院 成都 610054）

【摘要】 在MATLAB上应用计算电磁学中的有限差分法，通过计算方同轴线主模的电位分布，进而求出特性阻抗。讨论了特性阻抗随方同轴线几何参数的变化，并用多项式拟合给出了随的变化关系式。同时，还讨论了对场域进行离散化的网格由于其划分的粗细程度不同对结果造成的影响。

关键词 有限差分法；超松弛迭代法；方同轴线；特性阻抗；计算电磁学

Intrinsic Impedance Calculation of Quadrate Coaxial Line using Finite Difference Method

XIONG Jiang

(School of Physical Electronics, UEST of China Chengdu 610054)

Abstract Using finite difference method in the computational electromagnetics on MATLAB, the voltage of quadrate coaxial line is caculated, and then the intrinsic impedance is attained. The change of intrinsic impedance, followed by geometrical parameter, is discussed, and the expression of and is also given by polynomial fit. The influence to the results, caused by different thickness of griddings which is used to disperse the field, is also discussed.

Key words finite difference method; 超松弛迭代法; quadrate coaxial line; intrinsic impedance; computational electromagnetics

1 方同轴线

方同轴线的结构与常见的圆同轴线相类似，都是双导体系统，主模为TEM模，不同的是方同轴线的内外导体均是正方形。图1给出了两种方同轴线的横截面图。其中，a和b是描述方同轴线的几何参数，a是内外导体之间的间隙，2b是外导体的边长。本文计算如图1（a）所示的方同轴线的TEM模特性阻抗随的变化，并用多项式拟合出与的关系。

图1 两种方同轴线的横截面图

2 对计算结果的预测

通过与已有的圆同轴线特性阻抗公式的类比，可以对计算结果作出初步的预测。圆同轴线的特性阻抗为：

， （1）

其中，是内外导体的电位差，是流过内导体的电流，是自由空间的本征导纳；a和b分别是内外导体间距和外导体的半径。根据（1）式可以画出圆同轴线与的关系曲线，如图2所示。随按照对数函数关系单调地增加，其值从零到无穷大。对于要计算的方同轴线，可以估计，其随地变化趋势与圆同轴线类似，但由于时，图1（a）所示的方同轴线内外导体不会完全重合，还留有一些空隙，故不会为零，应该为一个有限的小值。

图2 圆同轴线的－关系

3 特性阻抗的计算过程

3.1 场域的离散化及边界条件

将所要求解的场域用正方形网格进行离散化，并给定边界条件为内导体电位，外导体电位。有一点需要注意：若将场域划分为20×20的网格，则在讨论的不同取值时，只取，即只精确到0.1；若划分为80×80的网格，则取。这样做的好处时保证了内导体的边缘始终落在网格点上，无需对边界条件再作其它处理。在计算过程中，我们实际采用了20×20，40×40，80×80，120×120，160×160和200×200这6种网格。

3.2 计算内外导体的电位分布

内外导体间的电位分布由拉普拉斯方程描述：

。 （2）

对取样点电位的计算采用超松弛迭代法，其差分格式为：

。 （3）

由于在这个问题中，场域内无源，故，（3）式简化为：

。 （4）

选用的正方形网格时，松弛因子的最佳值与网格每边节点数有关，与的关系为：

。 （5）

例如对于120×120的网格，＝1.95。收敛指标的规定如下：当网格内各取样点相邻两次迭代近似值的绝对误差的绝对值均小于0.0001时终止迭代。

3.3 求解场域内的电场和磁场

根据电场和电位的关系：，具体在本例中，

， （6）

即任一取样点处的电场x方向分量，y方向分量。可以利用中心差分将偏导数转化为差分，即：

（7）

（8）

由于网格的步长h=1，所以以上（7）（8）两式就简化为：

(9)

(10)

在求出每个取样点的，后，就可以画出电场矢量图，如图3。同时，各个取样点处的电场大小也可以求出：

。 （11）

图3 通过电位求得的电场分布图

根据TEM电磁波电场和其相伴磁场的关系，可以求出各个取样点处的磁场：

， （12）

， （13）

以及磁场大小：

。 （14）

图4给出了磁场的分布。

图4 通过电场求得的磁场分布

3.4 计算内导体中流过的电流和该方同轴线在给定几何参数下的特性阻抗

根据安培环路定律：

， （15）

原则上可以选取包围内导体的任意闭合路径对磁场进行曲线积分。但为了计算简便，可以考虑选取如下两种路径：一是紧贴内导体的逆时针回路，二是紧贴外导体的逆时针回路，如图5所示。下面分别称之为路径一和路径二。

图5 计算电流的两种积分路径

选取这两种路径的好处在于磁场矢量方向与路径微元矢量方向始终大致相同，这就可以将（15）式的矢量场曲线积分简化为标量场曲线积分：

。 （16）

这里要说明一下，通过对以上两种路径积分比较计算结果，可以发现路径二更准确。图6给出了利用20×20网格分别用上述两种路径计算得到的随的变化曲线。可以看出，在较小时，两条曲线还是比较接近的，但是随着的增大，两条曲线出现了差异且越来越大。通过和圆同轴线的结论比较，当时，知，路径二的结果更合理。这一结果可以借助图7来解释。图7所示的是时的磁场分布图，可见路径二上总共有72 个点，而路径一上只有12 个。在这种较大的情况下，用路径一上仅有的几个取样点来描述该路径上的磁场就显得比较粗糙了。

图6 利用20×20网格用两种闭合路径积分计算得到的随的变化曲线

图7 20×20网格，时的磁场分布图

由于内外导体之间的电压设为1，根据同轴线特性阻抗的定义：

。 （17）

只要给定一个值，即给定方同轴线横截面的几何形状，就可以求出对应的值。

3.5 拟合随变化的多项式

在同一个网格划分下，改变的值，就可以求出与一一对应的。表1给出了120×120的网格下，和的关系，从0.0167到0.9833共59组数据，其曲线图由图8给出。与第2部分的预测比较，计算得出的结果是比较合理的：随单调地增加，其变化趋势和圆同轴线的对数关系相近；在时而在时为一个小量但不会为零。

表1 用120×120网格计算的和的关系

图8 120×120网格下与的关系曲线

使用matlab的多项式拟合功能，对表1的结果进行多项式逼近，得到12次多项式的结果：

。 （18）

该多项式的曲线图及其与图8的曲线比较一并放在了图9中，可以看出，该12次多项式较好地逼近了计算结果。当时，用该12次多项式算出的Zc＝77.0773，相对误差大约仅为0.03%。有了这一拟合公式，就可以对任意的计算对应的值。

图9 拟合的12次多项式曲线与由计算结果绘出的曲线的比较

4 网格对计算结果影响的分析

图10所示的是20×20，40×40，80×80，120×120，160×160和200×200这6种网格计算得到的

－曲线图的比较。从图中可以看出，整体来说这些网格的结果还是吻合得比较好的，但有两点值得注意。一是20×20和40×40网格画出的这两条曲线与其它四条曲线差别略大，特别是20×20的这条更为显著一些，这是因为这两种网格还不够精确，得到的数据点也较少，分别只有9个和19个。二是在>0.8之后，各条曲线稍有不同，这一点可以这样来理解：在，也就是内外导体之间间隙较小时，场域本身就比较小，对这一场域进行离散化的网格中取样点数目的多少差异还不太能够导致结果的差别；但在充分大以后，对较大的场域，取样点的数目就相对重要了。少量的取样点使得场域电位计算结果的不够精确，这一误差在电场、磁场计算和电流的环路积分上进一步积累，最终导致了的误差。

图10 6种网格计算得到的－曲线比较

5 结束语

本文应用有限差分法计算了方同轴线特性阻抗随其横截面几何形状的变化，其结果由－曲线和拟合出的12次多项式给出；对方同轴线和圆同轴线异同进行了比较；还分析了对场域离散化的网格粗细程度不同对计算结果的影响，并解释了原因。在条件允许的情况下，对场域进行足够高的离散化，可以使计算结果更接近真实值。