平面向量的线性运算考点解析

向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.

下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究：

考点一、平面向量基本概念的考查：

例1、（06年烟台模拟）给出下列命题：

⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；

⑵若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各顶点；

⑶若，则；

⑷若，则

其中所有正确命题的序号为 .

解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当时，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由，则，且与的方向相同；由，则，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故，⑶是正确的；对于⑷，当时，与不一定平行，故⑷是不正确的. 所以正确命题的序号为⑶.

考点二、向量加法、加法的考查：

例2、（07年高考模拟）下列命题：

①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与之一方向相同；

②在中，必有；

③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；

④若均为非零向量，则与一定相等.

其中真命题的个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

解析：①假命题，当时，命题不成立.

②真命题. ③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有.

④假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为.

点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.

例3、（07年高考模拟）已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为，则向量等于（ ）

A、 B、 C、 D、

解析：如图所示，点O到平行四边形的三个

顶点A、B、C的向量分别为，

结合图形有：

故答案：B

点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.

考点三、平面向量的共线定理的考查：

例4、如图所示，在的边上分别有一点M、N，已知

，连结AN，在AN上取一点R，满足.

⑴用向量表示向量； ⑵证明：R在线段BM上.

解析：⑴∵， ∴

∵， ∴

∵， ∴

又

∴，

∴.

⑵证明：∵

∴， ∴R在线段BM上.

点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.