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2019-2020年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课后作业理

时间：2019-08-21 00:31:07 下载该word文档

一、选择题

1．(xx·重庆测试)下列函数为奇函数的是(　　)

A．y＝x3＋3x2 B．y＝

C．y＝xsinx D．y＝log2

答案　D

解析　函数y＝x3＋3x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y＝是偶函数，排除B；函数y＝xsinx是偶函数，排除C；函数y＝log2的定义域是(－3,3)，且f(－x)＝log2＝－f(x)，是奇函数，D正确．故选D.

2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是(　　)

A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|

C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sinx

答案　C

解析　函数f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，排除A；当x∈(－∞，0)时，函数f(x)＝2|x|＝x在(－∞，0)上单调递减，排除B；当x∈(－∞，0)时，函数f(x)＝log2＝－log2(－x)在(－∞，0)上单调递增，且函数f(x)在其定义域内是偶函数，C正确；函数f(x)＝sinx是奇函数，排除D.故选C.

3．(xx·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln (1＋x)．则当x<0时，f(x)＝(　　)

A．－x3－ln (1－x) B．x3＋ln (1－x)

C．x3－ln (1－x) D．－x3＋ln (1－x)

答案　C

解析　当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln (1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln (1－x)]，∴f(x)＝x3－ln (1－x)．故选C.

4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝(　　)

A．－0.5 B．0.5 C．－2.5 D．2.5

答案　D

解析　∵f(x＋2)＝－，

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．

∴函数f(x)的周期为4.

∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．

∵2≤2.5≤3，∴f(2.5)＝2.5.

∴f(105.5)＝2.5.故选D.

5．(xx·金版创新)已知函数f(x)在∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x，则f(xx)等于(　　)

A. B．－ C．1 D．－1

答案　B

解析　由f(x－2)＝－f(x)，得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(xx)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－.故选B.

6．(xx·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　)

A．2 B．1 C．－1 D．－2

答案　A

解析　∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，

∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，

∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，

则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，

∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.

7．(xx·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(xx)＝(　　)

A．－2 B．－1 C．0 D．2

答案　D

解析　因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(xx)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.

8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(xx)的值为(　　)

A．2 B．0 C．－2 D．±2

答案　A

解析　∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，

∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．

即f(x＋1)＝－f(x－1)．

∴f(x＋2)＝－f(x)．

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.

∴f(xx)＝f(2)＝2.故选A.

9．(xx·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)

答案　A

解析　∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，

∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1<a<4，故选A.

10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点所构成的集合为(　　)

A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}

C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}

答案　D

解析　当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)＝

当x2－4x＋3＝0时，可求得x1＝1，x2＝3；

当－x2－4x＋3＝0时，可求得x3＝－2－，x4＝－2＋(舍去)．

故g(x)的零点为1,3，－2－.故选D.

二、填空题

11．(xx·武昌联考)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.

答案　±1

解析　∵f(－x)＝＝，

∴f(－x)＋f(x)

＝

＝.

由f(－x)＋f(x)＝0，可得k2＝1，∴k＝±1.

12．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．

答案　－

解析　∵f(x)是周期为2的函数，

∴f＝f＝f，

f＝f＝f，

又∵f＝f，∴f＝f，

即－＋a＝，解得a＝，

则f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.

13．(xx·郑州联考)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)＝－f(2a－x)，则称f(x)为准奇函数．给出下列函数：①f(x)＝(x－1)2，②f(x)＝，③f(x)＝x3，④f(x)＝cosx，其中所有准奇函数的序号是________．

答案　②④

解析　对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于(a,0)对称．对于①，f(x)＝(x－1)2，函数图象无对称中心；对于②，f(x)＝，函数f(x)的图象关于(－1,0)对称；对于③，f(x)＝x3，函数f(x)的图象关于(0,0)对称；对于④，f(x)＝cosx，函数f(x)的图象关于(k∈Z)对称．所以所有准奇函数的序号是②④.

14．(xx·太原模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－1，Sn＝2an＋n(n∈N*)，则f(a5)＋f(a6)＝________.

答案　3

解析　∵奇函数f(x)满足f＝f(x)，∴f＝－f(－x)，∴f(x)＝－f＝f(x＋3)，∴f(x)是以3为周期的周期函数，∵Sn＝2an＋n①，∴Sn＋1＝2an＋1＋n＋1②，②－①可得an＋1＝2an－1，结合a1＝－1，可得a5＝－31，a6＝－63，∴f(a5)＝f(－31)＝f(2)＝－f(－2)＝3，f(a6)＝f(－63)＝f(0)＝0，∴f(a5)＋f(a6)＝3.

三、解答题

15．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.

(1)证明：函数f(x)为周期函数；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－xx,xx]上的根的个数，并证明你的结论．

解　(1)证明：由

⇒⇒f(4－x)＝f(14－x)⇒f(x)＝f(x＋10)．

∴f(x)为周期函数，T＝10.

(2)∵f(3)＝f(1)＝0，f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．

从而可知函数y＝f(x)在[0,xx]上有404个解，

在[－xx,0]上有403个解，

所以函数y＝f(x)在[－xx,xx]上有807个解．

16．定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．

(1)判断k为何值时，f(x)为奇函数，并证明；

(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

解　(1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)＝0，

令a＝b＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋k，所以k＝0.

证明：由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝x，b＝－x，

则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)因为f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.

所以f(mx2－2mx＋3)>3＝f(2)对任意x∈R恒成立．

又f(x)是R上的增函数，所以mx2－2mx＋3>2对任意x∈R恒成立，即mx2－2mx＋1>0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，显然成立；

当m≠0时，由得0<m<1.

所以实数m的取值范围是[0,1)．

2019-2020年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课后作业理

一、选择题

1．(xx·江西九江七校联考)幂函数

f(x)＝(m2－4m＋4)x在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)

A．1或3 B．1 C．3 D．2

答案　B

解析　由题意知m2－4m＋4＝1且m2－6m＋8>0⇒m＝1，故选B.

2．(xx·吉林期末)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>－ B．a≥－

C．－≤a<0 D．－≤a≤0

答案　D

解析　①当a＝0时，函数f(x)＝2x－3为一次函数，是递增函数；

②当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；

③当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－≥4，解得a≥－，又a<0，故－≤a<0.

综合得－≤a≤0.故选D.

3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)

A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)

C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)

答案　D

解析　由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)图象关于x＝对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f(0)<f(2)<f(－2)．故选D.

4．(xx·聊城检测)若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为(　　)

A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1

C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋1

答案　D

解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得

故解得

则f(x)＝x2－x＋1.故选D.

5．(xx·雅安诊断)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.

给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.

其中正确的是(　　)

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

答案　B

解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1，知b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.

6．(xx·济宁模拟)设函数f(x)＝

若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)

A．4 B．2 C．1 D．3

答案　D

解析　由解析式可得f(－4)＝16－4b＋c＝f(0)＝c，解得b＝4.

f(－2)＝4－8＋c＝－2，可求得c＝2.

∴f(x)＝

又f(x)＝x，

则当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1，x2＝－2.

当x>0时，x＝2，综上可知有三解．故选D.

7．二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f(x)＝f(4－x)成立，若f(1－2x2)<f(1＋2x－x2)，则实数x的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－2,0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

答案　C

解析　由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x＝2，图象在对称轴左侧为减函数．而1－2x2<2,1＋2x－x2＝2－(x－1)2≤2，所以由f(1－2x2)<f(1＋2x－x2)，得1－2x2>1＋2x－x2，解得－2<x<0.故选C.

8．已知对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　)

A．1<x<3 B．x<1或x>3

C．1<x<2 D．x<2或x>3

答案　B

解析　f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)．记g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，由题意可得即解得x<1或x>3.故选B.

9．(xx·吉林松原月考)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则(　　)

A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0

C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0

答案　C

解析　∵f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a＞0，∴f(x)的大致图象如图所示．

由f(m)＜0，f(－1)＝f(0)＝a>0，得－1＜m＜0，

∴m＋1＞0，又∵x>－时f(x)单调递增，∴f(m＋1)＞f(0)＞0.

10．(xx·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(　　)

A．0 B．m C．2m D．4m

答案　B

解析　由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称．

不妨设x1<x2<…<xm，则＝1，即x1＋xm＝2，同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，又xi＝xm＋xm－1＋…＋x1，所以2xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以xi＝m.故选B.

二、填空题

11．(xx·湖北孝感模拟)函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间内有零点，则实数a的取值范围为________．

答案　(－∞，0]

解析　由f(x)＝ax2－2x＋1＝0，

可得a＝－＋＝－2＋1.

若f(x)在内有零点，则f(x)＝0在区间内有解，当－≤x<0或0<x≤时，可得a＝－＋≤0.所以实数a的取值范围为(－∞，0]．

12．(xx·九江模拟)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，

对称轴x＝－(a－2)，

对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，

所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：

或

或解得a∈∅或1≤a＜4或－<a<1，所以a的取值范围为.

13．(xx·北京丰台期末)若f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，其中a≤b≤c，对于下列结论：①f(b)≤0；②若b＝，则∀x∈R，f(x)≥f(b)；③若b≤，则f(a)≤f(c)；④f(a)＝f(c)成立的充要条件为b＝0.其中正确的是________．(请填写序号)

答案　①②③

解析　f(b)＝(b－a)(b－b)＋(b－b)(b－c)＋(b－c)·(b－a)＝(b－c)(b－a)，因为a≤b≤c，所以f(b)≤0，①正确；将f(x)展开可得f(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac，又抛物线开口向上，故f(x)min＝f.当b＝时，＝b，所以f(x)min＝f(b)，②正确；f(a)－f(c)＝(a－b)(a－c)－(c－a)·(c－b)＝(a－c)(a＋c－2b)，因为a≤b≤c，且2b≤a＋c，所以f(a)≤f(c)，③正确；因为a≤b≤c，所以当f(a)＝f(c)时，即(a－c)(a＋c－2b)＝0，所以a＝b＝c或a＋c＝2b，故④不正确．