第18章 勾股定理复习

一．知识归纳

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，斜边为4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，那么dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

word/media/image5.gif　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：9ab64b20f0dfe700dc4dd97bfda71ce1.png，d7531abe642a54cb0ca8ed0f51946cfa.png，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为d5935b6ebacf093b872c1ebe5e183eb1.png　　

大正方形面积为1fcff24ee808d340d04c5793e0c8e90e.png

所以dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png

方法三：0fba7c0052661995901ea909cfaa7a73.png，fae474b525d802f61238411cd5e7ef4f.png，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，97d188985389d75a5eef275c57802914.png，则4cc866ca476de9f41dc284d73b9c5904.png，d5092ffa055f72488b5263e53d024b17.png，6059eca29370487ff0aba4431e47b8ac.png

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

5、利用勾股定理作长为的线段
作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是
、、、。
举一反三 【变式】在数轴上表示的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

注：逆命题与勾股定理逆定理

可以判断真假的陈述句叫做命题，

写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
6.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理的证明方法要掌握，书74页

　如果三角形三边长0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png满足dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png，那么这个三角形是直角三角形，其中4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为斜边

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c22+b2，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png及dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png满足4e3363c89c240023f521f1cfb198a720.png，那么以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为三边的三角形是直角三角形，但是92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和2e328c7d231df9a5fe7603b5813b5a08.png与较长边的平方d1361fe8d9cd3d38c0919846ab0d3d8e.png作比较，若它们相等时，以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为三边的三角形是直角三角形；若4ed6c34b6856347835c29b386a7c79f3.png，时，以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为三边的三角形是钝角三角形；若181f82de161759a7249e2048764b1156.png，时，以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png及dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png满足4e3363c89c240023f521f1cfb198a720.png，那么以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为三边的三角形是直角三角形，但是92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png为斜边

　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

7.勾股数

　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png中，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为正整数时，称0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如ba58171a0ad40b92f8b8bc24673cc2a1.png；46654ee4b78bbd66edcc3182ca0cc29c.png；7761a6d3040d4cef031031c93c0342c0.png；438d6b4d494f9645b90bf48ebd98ee3b.png等

③用含字母的代数式表示7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png组勾股数：

　2b29264bd513eb761fae0fbf6631b5d7.png（68b8eb99846967c9eeb6c68f82204251.png7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为正整数）；

　　ee8db9e8d75b0c7f30a90710553ea169.png（7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为正整数）

34e84f200869c05cf5df093f9a6a917f.png（09a5bd03d33c8facaeddcc813926b712.png6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为正整数）

8．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

9勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

10.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

常见图形：

word/media/image58_1.pngword/media/image59_1.pngword/media/image60_1.png

题型一：直接考查勾股定理

例１.在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，97d188985389d75a5eef275c57802914.png．⑴已知3fc0e21dcde1a3117df5557bf0741e11.png，9f289b0213052b5f78367762a00f06d3.png．求b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的长

⑵已知a2cc3b926f1a861f797f162be2ccc2f4.png，0e2afe47b3720d94ad2aeae25b2d058b.png，求f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的长

分析：直接应用勾股定理dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png

word/media/image70_1.png解：⑴35c81215a1bfddcb1f74c2de3e915a5f.png ⑵c81fd8a94109c346abfd5222cf2fa706.png

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.

⑴在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，52f4c087296260b9cf32142373cb45e1.png，babe5885836d3d843cee98722b3b64c9.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，dda74a046cd258a2dbe23173a523d172.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，b5940e78e6610357ce231b589e856ae0.png于f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png＝　　　　

word/media/image81_1.png⑵已知直角三角形的两直角边长之比为196f2739157a9ea63183a49d928b9a35.png，斜边长为9bf31c7ff062936a96d3c8bd1f8f2ff3.png，则这个三角形的面积为　　　　

⑶已知直角三角形的周长为34173cb38f07f89ddbebc2ac9128303f.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，斜边长为c51ce410c124a10e0db5e4b97fc2af39.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，则这个三角形的面积为　　　　　

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解

解：

⑴0fb4eb889793e59027d8461021d95b59.png，360ab6efc3094c87800721dfce55d3ef.png

⑵设两直角边的长分别为f1c006c2802144d61972483efd03c280.png，c4e6890b69eea65f497d6a52d2af1e87.png95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png7eac5ef374fa813fa22cd90e512e9e52.png，f9d3cbef63dcee86c028afee34a40341.png，4c2e2ee8fbcfbe88d36e33d7b8008ca2.png

⑶设两直角边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，则d189af4a7dd9db5bf76dbb17e1acb8b9.png，580d74f2cf2a2434f193c506d36693dc.png，可得a35408a1da8edfd51f1e3c517359a230.pnga8d8bb7c6834b48f0f29c04973b76821.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pnge5b04d89cb381ee420a0bcd4ed1d35dd.png

例３.如图75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，97d188985389d75a5eef275c57802914.png，34405a0de4474f138a548370d2972a49.png，8ed7b7d784cb4284315c776475cd4ea4.png，f44e28d1942610101766f342ab746482.png，求4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的长

word/media/image110_1.png

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解：作1c6ecf6546a050dac151efae48079434.png于3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png34405a0de4474f138a548370d2972a49.png，97d188985389d75a5eef275c57802914.png

word/media/image116_1.png　95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png9a1df600c2627af31bacec7ab13bc0c9.png

　在07319b045665bc28971ccc8f3e9d46b9.png中

　46dd666193dc9d4ed36b5442ffdd2055.png

234c01659ad87edc1fff7ceeba269536.png

8dccf49f14467fdb006faa18e233f223.png

　在fa1398f5ce14260b4f4fe75d7bdb5a8f.png中，97d188985389d75a5eef275c57802914.png

　cd0711769a3832f35bf962004cae082f.png，c2e34410ec0f447de9251995577a3ea5.png665013250a7ca93400722f76fe7bc522.png

例4.如图fa1398f5ce14260b4f4fe75d7bdb5a8f.png，97d188985389d75a5eef275c57802914.png40092a671d0b9f01ece8653f62a73b61.png,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

word/media/image131.gif例5.如图有两棵树，一棵高c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，另一棵高c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，两树相距c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png

分析：根据题意建立数学模型，如图232596baf267aac61dbfc49b1a68c865.png6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，6b5a8b885a1af392fbc89b1830d55f20.png6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，9f289b0213052b5f78367762a00f06d3.png6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，过点f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png作1c6ecf6546a050dac151efae48079434.png，垂足为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，则ae9827401892e600c9f1339d33041078.png6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，b1d951af185ef5665cdb96979665f753.png6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png

在2fc9dcb2e91004124f769eb93e0eb13e.png中，由勾股定理得8947be0ae72fcd6969d3e0400ad9c393.png

答案：d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，判定75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是否为078e2f1b0f7c0a6f2d562efb6de32964.png

①a142b96726af8327932c571e34a469d1.png，19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png，6ede5ccad71a131273481f9cfe8e98dd.png　　②7fa339f95c1d081b6a55da0143277072.png，3c94d884933477acdc14fc70da4b987a.png，e1d2cdaf1dfb95de9b1908a0dea58a23.png

解：①f2d311b475783ab35eef4246fa828723.png，7d2a53ea2fe0bc263a67d7a6fad8ef93.png

　　95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是直角三角形且97d188985389d75a5eef275c57802914.png

②478664cb3de79718f74273bf7f812090.png，cff99e5298b18d76fec9b9d4e62321d8.png，dfa713eab1856f93512e4c0b19ead2b2.png382f0f60ff2b47a7d73496685a417d1e.png不是直角三角形

例7.三边长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png满足b6eeb3790a52d119af263c094d5ef254.png，74937966e0b5c5583baa5393fc985a07.png，982a0e4056fee8aca6a5020c6a3aabe3.png的三角形是什么形状？

解：此三角形是直角三角形

word/media/image182_1.png理由：620529e76fc316478a064a76b68fc7bc.png，且daeb38a61f07b33f7b0c9ea8b8b60ce4.png

a573274dc1a3f85394f154176949184c.png　所以此三角形是直角三角

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，cf10c2ba2c3dc4875a66c1f6999c3fa0.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，80793ad7f49788cbf2d60ba3a70caa40.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png边上的中线8eebf1c6f878cfa45444b31bcb17cbb4.png820eb5b696ea2a657c0db1e258dc7d81.png，求证：43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png

经典例题透析

类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

类型三：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题

word/media/image211.gif 举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

解：

类型四：利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直?请说明。

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。96

举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。6（cm2）

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。n＝2

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

【答案】4
类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
解：连接AD．

所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

，，。
总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长 即EF的长为5cm。

9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）

A. 6 B.４ C. 64 D. 8

11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （　　　　　）

Ａ．　　１３　　　Ｂ．　b1c783f087ce31eb332f51c1e3cf1264.png　　　　Ｃ．１３或b1c783f087ce31eb332f51c1e3cf1264.png　　　Ｄ．　不能确定

12.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（　　）

A、①② B、①③ C、①④ D、②④

13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （　　）

A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里

15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（　　）

A、40 B、80 C、40或360 D、80或360