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    【数学】2017-2018年河南省安阳三十六中高一(上)数学期中试卷带答案-

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    2017-2018学年河南省安阳三十六中高一（上）期中数学试卷


    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
    1．（5分）设集合A={1，2，4}，集合B={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中有（ ）个元素． A．4 B．5 C．6 D．7
    2．（5分）下列函数中与函数y=x是同一函数的是（ ） A．y=|x|
    B．y= C．y=（+）2 D．y=
    3．（5分）函数f（x）=A．{x|x＜1}
    的定义域为（ ）
    B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}
    ，则函数    的4．（5分）已知函数f（x）的值域为值域为（ ） A． B． C． D．
    5．（5分）a=log0.20.5，b=log3.70.7，c=2.30.7的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 6．（5分）函数y=+x的图象是（ ）
    A． B． C． D．
    7．（5分）设函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）是（ ） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 8．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D．
    9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）
    1




    A． B． C． D．
    10．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ） A．
    D．
    =2， B．（2，+∞） C．11．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（ ）
    A．（﹣2，1） B．[0，1] C．[﹣2，0） D．[﹣2，1）
    12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=﹣x）=1﹣f（x），则f（A．

    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
    13．（5分）已知函数y=log3x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且线段AB的中点在x轴上，则x1•x2= ．
    14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为为 ． 15．（5分）（1）2 ；③f（1）等于（ ）

    B． C． D．，则球O的表面积﹣（）0+0.25×（）﹣4= ；




    （2）lg25+lg2﹣lg﹣log29×log32= ．
    （x∈R）时，分别给出下面几个结16．（5分）某同学在研究函数f（x）=论：
    ①f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立； ②函数f（x）的值域为（﹣1，1）； ③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
    ④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ．

    三、解答题：本大题共6小题，共70分.
    17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}． （1）求A∪B；（∁RA）∩B；
    （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
    18．（12分）一片森林原面积为a．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．
    （1）求每年砍伐面积的百分比；
    （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？ 19．（12分）已知函数f（x）=loga（1）求函数f（x）的定义域；
    （2）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；
    （3）若x∈[0，]时，函数f（x）的值域是[0，1]，求实数a的值． 20．（12分）已知函数（1）若a=0，求f（x）的值域； （2）当a=1时，解方程f（x）=0；
    （3）若对于任意的实数x，都有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
    3

    （其中a＞0且a≠1）．
    ．


    21．（12分）已知函数．
    （1）画出函数f（x）的图象，并写出其单调区间； （2）求方程f（x）=m的解的个数． 22．（12分）已知函数（Ⅰ）若a=1，且f（x）是偶函数，求b的值；
    （Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣1）上有意义，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若a=4，且A={x|f（x）=（b+1）（x+1）}=∅，求实数b的取值范围．

    ．
    4




    2017-2018学年河南省安阳三十六中高一（上）期中数学试卷
    参考答案与试题解析


    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
    1．（5分）设集合A={1，2，4}，集合B={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中有（ ）个元素． A．4 B．5 C．6 D．7
    【解答】解：由题意，B={2，3，4，5，6，8}； 共有6个元素； 故选：C．

    2．（5分）下列函数中与函数y=x是同一函数的是（ ） A．y=|x|
    B．y= C．y=（）2 D．y=
    【解答】解：y=|x|与函数y=x解析式不同，不是同一函数； y=y=（y==|x|与函数y=x解析式不同，不是同一函数；
    ）2=x，（x≥0）与函数y=x定义域不相同，不是同一函数； =x与函数y=x定义域解析式均相同，是同一函数；
    故选：D．

    3．（5分）函数f（x）=A．{x|x＜1}
    +的定义域为（ ）
    B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}
    ，
    【解答】解：要使函数有意义，则5



    即，得0＜x＜1，
    即函数的定义域为{x|0＜x＜1}， 故选：B．

    4．（5分）已知函数f（x）的值域为值域为（ ） A． B． C． D．，

    ，则函数的【解答】解：设f（x）∈∴2≥t≥． 则函数g（t）的对称轴t=1，
    ，
    ，则f（x）=，
    当t=1时，g（t）取得最大值为1， 当t=2时，g（t）取得最小值为， ∴函数的值域是[，1] 故选：B．

    5．（5分）a=log0.20.5，b=log3.70.7，c=2.30.7的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
    【解答】解：∵0＜a=log0.20.5＜log0.20.2=1，b=log3.70.7＜0，c=2.30.7＞1． ∴b＜a＜c． 故选：B．

    6．（5分）函数y=+x的图象是（ ）
    6



    A．【解答】解：函数 B．可化为：
    C． D．
    当x＞0时，y=1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线； 当x＜0时，y=﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线； 对照选项， 故选：D．

    7．（5分）设函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）是（ ） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 【解答】解：∵函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=ln﹣1＜x＜1，可得它的定义域为（﹣1，1）． 再根据f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），可得它为奇函数．
    ，由    ，求得在（0，1）上，ln（1﹣x）是减函数，﹣ln（1+x）是减函数，故函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）是减函数， 故选：B．

    8．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D．
    【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3， ∴f′（x）=ex+4＞0，
    ∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数， ∵f（）=f（）=7 +1﹣3＜0， +2﹣3=﹣1＞0，




    ∴f（）•f（）＜0，
    ∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，） 故选：C．

    9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）

    A． B． C． D．
    【解答】解：由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为4两个侧面是全等的三角形，三边分别为2，2，4，面积之和为4，，另一个侧面为等腰三角形，面积是×4×4=8， 故选：B．

    10．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ） A．
    D．
    =2， B．（2，+∞） C．【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）＞2，即 f（log4x）＞f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，
    ，又偶函数∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞=log42，或 log4x＜﹣=∴0＜x＜，或 x＞2， 故选：A．

    11．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：8

    ，
    ，设f（x）=（x2﹣

    1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（ ）
    A．（﹣2，1） B．[0，1] C．[﹣2，0） D．[﹣2，1）
    【解答】解：当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3）， 当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2）， 函数y=f（x）=
    的图象如图所示：

    由图象得：﹣2≤k＜1，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点， 即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点； 故选：D．

    12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=﹣x）=1﹣f（x），则f（A． B． C． D．）等于（ ）

    ；③f（1【解答】解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；③f（1﹣x）+f（x）=1， ∴f（1）=1，
    9



    令x=，有f（）=，
    又∵②f（）=f（x），令x=1，有f（）=f（1）=， 令x=，有f（）=f（）=， ∴f（f（f（f（f（）=f（）=， ）=）=）=）=f（===）==， ，
    ）=）=）=）====， ， ， ，
    ，
    ， ， ，
    ，
    又f（）=∴f（f（f（f（∵当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），∴f（∴f（）≤f（）=．
    ）≤f（），
    故选：D．

    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
    13．（5分）已知函数y=log3x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且线段AB的中点在x轴上，则x1•x2= 1 ．
    【解答】解：∵函数y=log3x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴y1=log3x1 y2=log3x2
    10



    根据中点坐标公式得：y1+y2=0， 即log3x1+log3x2=0， ∴log3（x1x2）=0， x1•x2=1． 故答案为：1．

    14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为4π ．
    【解答】解：根据题意作出图形
    设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC， 延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC． ∵CO1=∴OO1=
    ，则球O的表面积为
    ，
    ，
    ∴高PD=2OO1=2∵△ABC是边长为1的正三角形， ∴S△ABC=，
    ×2    =，
    ∴V三棱锥P﹣ABC=×∴r=1．则球O的表面积为4π． 故答案为：4π．



    15．（5分）（1）﹣（）0+0.25×（）﹣4= ﹣3 ；
    11



    （2）lg25+lg2﹣lg﹣log29×log32= ﹣（）0+0.25 ．
    ）﹣4=【解答】解：（1）故答案为：﹣3； （2）lg25+lg2﹣lg故答案为：

    ．
    ×（；
    ﹣log29×log32=．
    16．（5分）某同学在研究函数f（x）=论：
    ①f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立； ②函数f（x）的值域为（﹣1，1）； ③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
    （x∈R）时，分别给出下面几个结④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ①②③ ． 【解答】解：①②当x＞0时，f（x）=∴正确
    ∈（0，1）
    由①知当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0） x=0时，f（x）=0
    ∴f（x）∈（﹣1，1）正确； ③则当x＞0时，f（x）=反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
    再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确
    ④由③知f（x）的图象与y=x只有（0，0）这一个交点．不正确． 故答案为：①②③

    三、解答题：本大题共6小题，共70分.
    17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．
    12



    （1）求A∪B；（∁RA）∩B；
    （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．
    【解答】解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}； 因为A={x|3≤x＜7}，
    所以A∪B={x|2＜x＜10}；（1分） 因为A={x|3≤x＜7}，
    所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（1分）
    （CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（1分） （2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}． A∩C≠∅，
    所以a＞3．（2分）

    18．（12分）一片森林原面积为a．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．
    （1）求每年砍伐面积的百分比；
    （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？ 【解答】解：（1）设每年降低百分比为x（0＜x＜1）． 则a（1﹣x）10=a，即（1﹣x）10=，解得x=1﹣（）（2）设经过n年剩余面积为原来的则a（1﹣x）n=a，即（）
    ，
    =（），=，n=5
    到今年为止，已砍伐了5年
    （3）设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为令a（1﹣x）n≥a，
    a（1﹣x）n，
    13



    即，，，n≤15．
    故今后最多还能砍伐15年．

    19．（12分）已知函数f（x）=loga（1）求函数f（x）的定义域；
    （2）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；
    （3）若x∈[0，]时，函数f（x）的值域是[0，1]，求实数a的值． 【解答】解：（1）由条件知1，1）；
    （2）由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称． f（﹣x）=log=log=﹣log=﹣f（x）
    ＞0，解得﹣1＜x＜1，所以函数的定义域为（﹣（其中a＞0且a≠1）．
    所以f（x）是奇函数． （3）f（x）=log则g（x）=﹣1﹣单调递增，
    由f（）=1得a=3；
    当0＜a＜1时，f（x）在[0，]上单调递减，由f（0）=1得出矛盾，a∈∅；综上可知a=3．

    20．（12分）已知函数（1）若a=0，求f（x）的值域； （2）当a=1时，解方程f（x）=0；
    （3）若对于任意的实数x，都有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）a=0时，分母（x+1）2+1∈[1，+∞），故f（x）∈（0，3]
    即函数f（x）的值域为（0，3]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14

    =log=log记g（x）=﹣1﹣，
    ，[0，]上单调递增，因此当a＞1时，f（x）在[0，]上．



    ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （2）a=1时，f（x）=，
    则f（x）=0⇒﹣x2﹣2x+3=0⇒x=﹣3或1
    即f（x）=0的根为﹣3，1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） （3）由题意＞0恒成立，
    ∵x2+2x+2＞0恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） ∴只要﹣ax2﹣2ax+3＞0恒成立即可， 即ax2+2ax﹣3＜0恒成立
    ①当a=0时，﹣3＜0恒成立，符合题意 ②当a≠0时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）
    综上所述：﹣3＜a≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）

    21．（12分）已知函数．
    （1）画出函数f（x）的图象，并写出其单调区间； （2）求方程f（x）=m的解的个数． 【解答】解：（1）化简可得函数f（x）的图象如下： 根据图象，可得： 函数的单调增区间为：和[2，+∞）
    ；

    函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣2）和（2）当m≤﹣4时，方程无解， 当﹣4＜m＜0或当m=0或时，方程有1个解，
    或m＞4时，方程有2个解，
    15



    当时，方程有3个解．



    22．（12分）已知函数（Ⅰ）若a=1，且f（x）是偶函数，求b的值；
    （Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣1）上有意义，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若a=4，且A={x|f（x）=（b+1）（x+1）}=∅，求实数b的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，若f（x）是偶函数，则f（x）﹣f（﹣x）=0，即即2x+2bx=0，所以b=﹣1．
    （Ⅱ）f（x）在（﹣∞，﹣1）上有意义，则对任意x∈（﹣∞，﹣1），1+2x+1+4xa＞0恒成立，
    即对任意x∈（﹣∞，﹣1），设增函数，
    所以g（x）＜g（﹣1）=﹣8，
    由a＞g（x）恒成立得a≥﹣8，即实数a的取值范围是[﹣8，+∞）．
    （    Ⅲ    ）    当    a=4    时，
    由A=∅可得方程无实根，
    ，恒成立，
    ，
    ，
    ．
    ，由指数函数单调性易得g（x）在（﹣∞，﹣1）上是16



    因为，
    所以，当b+1＜log26，即b＜log23时A=∅， 故实数b的取值范围是（﹣∞，log23）．


    17










    18



    19





    20


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