历年来北大自主招生数学试题

2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分

1．（仅文科做），求证：．

2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）

3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）

4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）

5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）

2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析

1．（仅文科做），求证：．

1【解析】不妨设，则，且当时，0' altImg='3839a5b92b359113cd7b0bf4c25389eb.png' w='162' h='21' class='_2'>．于是在上单调增．∴．即有．

同理可证．

，当时，0' altImg='9e666e70248ce1b1af5c823cf474981b.png' w='177' h='43' class='_2'>．于是在上单调增。

∴在上有。即。

注记：也可用三角函数线的方法求解．

2．为边长为的正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）

2【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

⑴当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；

⑵当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）．

不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上．

且当从向移动时，先减小后增大，于是；

对于线段上任意一点，都有．于是

由⑴，⑵知．不妨设为．

下面研究正五边形对角线的长．

如右图．做的角平分线交于．

易知．

于是四边形为平行四边形．∴．

由角平分线定理知．解得．

3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）

3【解析】不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点．如图．设，

且有．

由于，

于是的方程为；①

的方程为． ②

联立的方程，解得．

对于①，令，得；

对于②，令，得．

于是．

．不妨设，，则

③

不妨设，则有

6个 9个

． ④

又由当时，③，④处的等号均可取到．

∴．

注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．

由知当时；当时0' altImg='81352451710b6430cd26cfdca101dff9.png' w='77' h='21' class='_3'>．

则在上单调减，在上单调增．于是当时取得最小值．

4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）

4【解析】不妨设，夹角为，则，令

．

其对称轴为．而在上单调增，故．

当时，，解得．

当时，在上单调增，于是．不合题意．

于是夹角的范围为．

5．存不存在，使得为等差数列．（25分）

5【解析】不存在；否则有，

则或者．

若，有．而此时不成等差数列；

若，有．解得有．

而，矛盾！

2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。

【试题解答】

1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。

解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为，所以,所以。

2.求过抛物线和的交点的直线方程。

解析：

解法一：由，得，所以过抛物线和的交点的直线方程。

解法二：由得或，所以过抛物线和的交点的直线方程。

3.在等差数列中，，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何？

解析：因为所以，所以，

法一：由得，又，所以，所以。

法二：由，所以当，。

4.在中，，求证：.

解析：因为

，当且仅当时，成立，又因为，所以。

5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

解析：设存在四个正实数使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数的两两乘积为，把这些乘积乘起来，所以，又为正实数，所以，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。

6.和是平面上两个不重合的固定圆，是平面上的一个动圆，与，都相切，则的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.

解析：不妨设，和的半径分别为（），

（1）当和相离时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，，所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以；

若与外切，内切，则，，所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；

（2）当和外切时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，，所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；

（ⅱ）若与内切，外切，则，（或，），所以（或）；

若与外切，内切，则，（或，），所以（或）；

所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）；

（3）当和相交时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，（或，），所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线（圆、的交点除外）；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以；

若与外切，内切，则，，所以；

所以，由椭圆的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（圆、的交点除外）；

（4）当和内切时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，（或，或，），所以(或或)；

所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（两圆、的交点除外）；

（5）当和内含时，即，

（ⅰ）若与，都内切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆。

7.求的最小值。http://blog.fhedu.cn/htmledit/uploadfile/31F2676B-85B0-4CE6-BED6-B497E962F761/20110224/20110224153806671.jpg

2012年北约自主招生数学试题

1、求的取值范围使得是增函数；

2、求的实数根的个数；

3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；

4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；

5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。

6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？

7、求使得在有唯一解的；

8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；

9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中

2012年自主招生北约联考数学试题解答

2013年北约自主招生数学试题

2013-3-16

（时间90分钟，满分120分）

一 选择题（每题8分，共48分）

1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）

A．2 B．3 C．5 D．6

2．在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）

A．720 B．20 C．518400 D．14400

3．已知，，则的值为 （ ）．

A．-10 B．-12 C．-14 D．-16

4．如图， 在△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为

( )

A.BM+CN＞MN

B.MN+CN <MN

C.BM+CN =MN

D.无法确定

5．设数列满足，前项和为，，求．

6．模长为１的复数满足，求．

A．-1/2 B．1 C．2 D．无法确定

二、解答题(每题18分,共72分)

7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．

8．已知，为2013个实数，满足，且…，求证．

9．对于任意的，求的值．

10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明．

2013年北约自主招生数学试题解析

2013-3-16

（时间90分钟，满分120分）

一 选择题（每题8分，共48分）

1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【解析】 显然为满足要求的多项式，其次数为5．

若存在次有理系数多项式以和为两根，则必含有因式，∴，即最小次数为5．故选C．

2．在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）

A．720 B．20 C．518400 D．14400

【解析】 先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法．故停放方法共种．故选D．

3．已知，，则的值为 （ ）．

A．-10 B．-12 C．-14 D．-16

【解析】 ∵

，

又由，，有

∴或．

当时，有，，

；

当时，，

．

故选D．

4．如图， 在△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为

( )

A.BM+CN＞MN

B.MN+CN <MN

C.BM+CN =MN

D.无法确定

【解析】 延长ND至E，使ND＝ED，连结BE、ME，

则△BED≌△CND，△MED≌△MND，ME＝MN，

由BM＋BE＞EM，得BM＋CN＞MN．

5．设数列满足，前项和为，，求．

【解析】 ∵，，∴；

由 ，有时，，于是，

特征方程有重根2，可设，

将，代入上式，得，，

于是，∴．

故选A

6．模长为１的复数满足，求．

A．-1/2 B．1 C．2 D．无法确定

【解析】 取，便能得到＝1．

下面给出证明，，

于是

． ∴ ＝1．

二、解答题(每题18分,共72分)

7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．

【解析】 设满足条件的正整数为个．考虑模3的同余类，共三类，记为，，．

则这个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故．

当时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意，

所以满足要求的正整数最多有4个．

8．已知，为2013个实数，满足，且…，求证．

【解析】 设…，

若，则，，…，，，

于是，

∴，进而．

若，则，，…， 这2013个数去掉绝对值号后只能取和两值，

又…，

即这2013个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同，这不可能．

9．对于任意的，求的值．

【解析】 ，

，

，

，

各式相加，得．

10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明．

【解析】 数阵中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．

若在第行存在a^{'}_{p(q+1)}' altImg='ac173c6707f7649562ed2bc06c592ff1.png' w='99' h='28' class='_8'>，令，其中，

，则当时，

即在第列中至少有个数小于，也就是在数阵中的第列中至少排在第行，这与排在第行矛盾．所以数阵中的中每一行的各数仍是递增的．

2014北约理科数学试题

1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

3、求.

4、的值域为求的取值范围.

5、已知且都为负实数，求的取值范围.

6、在上为奇函数，求的值.

7、求证：

8、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.

9、是等差数列，问：是否可以同时在中，并证明你的结论.

10、求证：

2014北约文科数学试题

1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

3、求.

4、的值域为求的取值范围.

5、已知且都为负实数，求的取值范围.

6、在上为奇函数，求的值.

7、等比数列的公共项之和.

8、梯形的对角线长分别为和，高是求梯形的面积.

9、求证：

10、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.

2014北约理科数学试题（参考答案）

1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.

【解析】从而圆锥底面周长为

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

【解析】平均分堆问题.

3、求.

【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设代入求得从而

4、的值域为求的取值范围.

【解析】值域问题.或

5、已知且都为负实数，求的取值范围.

【解析】均值不等式，对勾函数性质.从而

6、在上为奇函数，求的值.

【解析】下面证明：

7、求证：

【解析】反证法.假设则从而矛盾.

8、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.

【解析】设

则由，可得

由可得

化简得即又

没有实根.

9、是等差数列，问：是否可以同时在中，并证明你的结论.

【解析】数列中的项.分析中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为，第二项为，最大的项为设公差为则中项的公差也为，所以中共有项，假设均为中的项，不妨设且这样的不存在，矛盾.所以不可以同时在中.

10、求证：

【解析】不等式；柯西不等式或平均不等式.

法一：不等式.调和平均值，

则，

可得，

上述两式相加得，

即，即

法二：由及要证的结论分析，由柯西不等式得，

从而可设，且从而本题也即证

从而，即，

假设原式不成立，即则

从而，矛盾.得证.

2014北约文科数学试题（参考答案）

1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.

【解析】从而圆锥底面周长为

2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

【解析】平均分堆问题.

3、求.

【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设代入求得从而

4、的值域为求的取值范围.

【解析】值域问题.或

5、已知且都为负实数，求的取值范围.

【解析】均值不等式，对勾函数性质.从而

6、在上为奇函数，求的值.

【解析】下面证明：

7、等比数列的公共项之和.

【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为，

易得最小的数为和的最小公倍数为则公共项之和为

8、梯形的对角线长分别为和，高是求梯形的面积.

【解析】如图，梯形面积为，易求得

9、求证：

【解析】反证法.假设则从而矛盾.

10、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.

【解析】设

则由，可得

由可得

化简得即又

没有实根.

2011年北大保送生考试数学试题参考解答

2012年北京大学保送生考试数学试题及参考解答

1．已知数列为正项等比数列，且，求的最小值．

解：设数列的公比为，则，

．由知．

，

当且仅当即时，有最小值．

2．已知为二次函数，且成正项等比数列，求证：．

证法一：设，数列的公比为，

则，

① ② ③

①②得，

②③得．

若，则；

若，则与矛盾．．

证法二：由成等比数列得，

．

三点满足，

三点共线，与三点在抛物线上矛盾，．

3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形的三边满足，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为．

解：如图所示，设正方形的边长为，，

，．

同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为

．

，，

这个三角形的内接正方形边长的最小值为．

4．从点发出两条射线，已知直线交于两点，且（为定值），记中点为，

求证：的轨迹为双曲线．

解：以的角平分线所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．

设，，，

则，．

，

得，

的轨迹为双曲线．

5．已知满足，求证：，使．

证明：用反证法，假设， ．

令，则，且．

与矛盾，

，使．

2013年北京大学保送生考试数学试题详解

【第1题】

内点满足，线段的中垂线交边于，线段的中垂线交边于，已知：、、三点共线，求.

解：如图.

于是

【第2题】

正数 满足，求证：.

解：

因此原不等式得证.

【第3题】

是否存在两两不同的实数，使直角坐标系中的三条直线共点.

解：原问题即方程组有解，其中两两不同.

整理，得，与两两不同矛盾.

于是不存在符合题意的实数对.

【第4题】

对的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数.

解：设，则奇子集由中的1个、3个或5个元素以及中的任意个元素组成.因此奇子集共有个.

【第5题】

在一个的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.

解：下面证明对的数表，是奇数，命题均成立.

当时，不妨设数表如图.

于是

因此命题成立.