体育单招数学考点

数学主要有代数、立体几何、解析几何三部分

热点一:集合与不等式

1.（2011真题）设集合M={x|0-1}，则【】

（A）M∩N=M（B）M∪N=N

（C）M∩N=N（D）M∩N=M∩N

2.（2012真题）已知集合则（）

A. B. C. D.

3.（2013真题）已知则

A． B． C． D．

4.（2011真题）不等式的解集是【】

（A）{x|0{x|1}

（C）{x|-∞{x|-∞

从三年真题可以看出，每年有一个集合运算的选择题，同时兼顾考查简单不等式的知识，所以同学们一定要熟练掌握集合的交、并、补运算，同时熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式、简单的分式不等式的解法，那么这道选择题6分就抓住了

热点二：函数、方程、不等式

1.（2011真题）已知函数有最小值8，则。

2.（2012真题）函数的反函数是（）

A. B.

C. D.

3.（2012真题）已知函数在区间上单调增加，则a的取值范围是.

4（2013真题）

..

5.（2013真题）

6.（2013真题）设函数是奇函数，则

第一题函数只是只是载体，实际上考查同学们对基本不等式求最小值掌握情况以及简单一元一次方程解法，第二题考查反函数的求法，第三题和第四题都是考查函数的单调性。第五题考察对数不等式的解法，第六题考查函数的奇偶性。从以上分析可以看出，函数重点考查函数的性质，如定义域、单调性、奇偶性等，同时注意一些基本初等函数，如指数函数、对数函数等，同时要熟练掌握方程的解法和不等式的性质和解法

热点三：数列

1.（2011真题）是等差数列的前项合和，已知，，则公差（）

（A）-1（B）-2（C）1（D）2

2.（2011真题）已知{}是等比数列，则，则。

3.（2012真题）等差数列的前n项和为.若（）

A.8B.9C.10D.11

4.（2012真题）已知是等比数列，，

.

5.（2013真题）

6.（2013真题）

三年都考查一个等差数列和等比数列计算，所以同学们一定要熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项公式

热点四：三角函数

1.（2011真题）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则【】

（A）（B）（C）（D）

2.（2011真题）已知函数，则是区间【】

（A）上的增函数（B）上的增函数

（C）上的增函数（D）上的增函数

3.（2011真题）在中，AC=1,BC=4,则。

4.（2012真题）已知，则=（）

A. B. C. D.

5..（2012真题）已知△ABC是锐角三角形.证明：

6.（2013真题）

7.（2013真题）

第一题考查三角函数的对称性和诱导公式以及三角函数的图像，第二题考查三角函数化简及三角函数单调区间求法，第三题考查正弦定理与余弦定理解三角形，第四题考查倍角公式、给值求值等，第五题是一个解答题，综合考查三角函数、解三角形、不等式证明等知识，第六题考查给值求值，第七题是一个解答题，综合考查三角函数式的化简，性质等。从上面分析可以看出，三角函数在考试中分值大，内容多。要求同学们熟练掌握三角函数的同角函数关系及其变形，掌握诱导公式，掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质；

的图像与性质往往结合三角恒等变换一起考查

热点五：平面向量

1.（2011真题）已知平面向量，则与的夹角是【】

（A）（B）（C）（D）

2.（2012真题）已知平面向量若（）

A． B. C. D.

3.（2013真题）

第一题考查平面向量的坐标运算、平面向量的夹角公式。第二题考查平面向量的坐标运算以及平面向量垂直的充要条件。第三题考查平面向量长度的计算。从上面分析可以看出，平面向量基本考查平面向量的坐标运算和数量积德运算，所以同学们务必熟练掌握，并且也不难

热点六：排列组合二项式定理概率

1.（2011真题）将3名教练员与6名运动员分为3组，每组一名教练员与2名运动员，不同的分法有【】

（A）90种（B）180种（C）270种（D）360种2.（2011真题）的展开式中常数项是。

3.（2011真题）（本题满分18分）甲、乙两名篮球运动员进行罚球比赛，设甲罚球命中率为0.6，乙罚球命中率为0.5。

(I）甲、乙各罚球3次，命中1次得1分，求甲、乙得分相等的概率；

()命中1次得1分，若不中则停止罚球，且至多罚球3次，求甲得分比乙多的概率。

4.（2012真题）从10名教练员中选出主教练1人，分管教练2人，组成教练组，不同的选法有（）

A.120种B.240种C.360种D.720种

5.（2012真题）某选拔测试包含三个不同项目，至少两个科目为优秀才能通过测试.设某学员三个科目优秀的概率分别为则该学员通过测试的概率是.

6.（2012真题）已知的展开式中常数项是，则展开式中的系数是（）

A. B. C. D.

7.（2013真题）

8.（2013真题）

9.（2013真题）

2011年考查排列组合一题、概率是一个解答题，综合考查互斥事件有一个发生的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式，二项式定理考查指定项求法。2012年排列组合一题，概率一题，二项式定理一题。2013年排列组合一题，二项式定理一题，概率一题。从分析可以看出，今年应该还是这种趋势，同学们熟练掌握排列组合的常用方法，熟练掌握根据概率加法公式和概率乘法公式求时概率，会根据二项式定理通项公式求指定项，会利用赋值法求系数和有关问题

热点七：立体几何

1.（2011真题）正三棱锥的底面边长为1，高为，则侧面面积是。

2.（2011真题）（本题满分18分）如图正方体中,P是线段AB上的点，AP=1,PB=3

(I）求异面直线与BD的夹角的余弦值；

()求二面角的大小；

(I)求点B到平面的距离

3.（2012真题）已知圆锥侧面积是底面积的3倍，高为4cm，则圆锥的体积是cm3

4.（2012真题）下面是关于三个不同平面的四个命题

其中的真命题是（）

A. B. C. D.

5.（2012真题）如图，已知正方形ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M是B1D1的中点.

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）求异面直线BM与CD1的夹角；

（Ⅲ）求点B到平面AB1M的距离.

6.（2013真题）

7.（2013真题）

8.（2013真题）

第一题考查正三棱锥的有关计算，第二题是以正方体载体，综合考查异面直线所成的角的求法，二面角的求法，点到直线距离求法等。第三题和第六题考查圆锥中有关计算，第四题考查面面位置关系，第五题考查线线垂直、异面直线所成的角、点到直线距离等，第七题考查四面体的有关计算，第八题考查二面角求法、点到直线距离等。可以看出，立体几何一般考查一个和三棱锥、圆锥、球等有关的一个计算，然后在正方体或者长方体中考查异面直线、二面角、点到直线距离等。同学们这块力争掌握正三棱锥、圆锥、球等有关计算，争取得分，解答题争取拿到一部分步骤分

热点八：解析几何

1.（2011真题）已知椭圆两个焦点为与，离心率，则椭圆的标准方程是。

2.（2011真题）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）

（A）（B）

（C）（D）

3.（2011真题）（本题满分18分）设F(c,0)(c>0)是双曲线的右焦点，过点F(c,0)的直线交双曲线于P,Q两点，O是坐标原点。

（I）证明；

(II)若原点O到直线的距离是，求的面积。

4.（2012真题）直线交圆于A，B两点，P为圆心，若△PAB的面积是，则m=（）

A. B. C. D.

5.（2012真题）过抛物线的焦点F作斜率为与的直线，分别交抛物线的准线于点A，B.若△FAB的面积是5，则抛物线方程是（）

A. B. C. D.

6.（2012真题）设F是椭圆的右焦点，半圆在Q点的切线与椭圆交于A，B两点.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）设切线AB的斜率为1，求△OAB的面积（O是坐标原点）.

7.（2013真题）

8.（2013真题）

.9.（2013真题）

第一题考查椭圆标准方程求法，第二题考查直线位置关系及方程求法，第三题是综合考查直线与双曲线的位置关系，第四题考查直线与圆的位置关系及有关计算，第五题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线方程求法，第六题综合考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系及有关计算，第七题考查直线与直线位置关系及直线方程求法，第八题考查直线与圆的位置关系及有关计算，第九题考查双曲线中的有关计算。可以看出，直线与直线、直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是重点，也是难点。同学们力争掌握直线与直线位置关系及直线方程求法，解答题力争步骤分

数学从题型看，选择题10题，填空题6题，解答题三题，下面就没个题型解答方法作一介绍，希望对同学们提高应试成绩有帮助

选择题解答策略

一般地，解答选择题的策略是：①熟练掌握各种基本题型的一般解法。②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。

一、 直接法：

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法。

【例1】若sinx>cosx,则x的取值范围是______。

A．{x|2k－＋,kZ}B.{x|2k＋＋,kZ}

C.{x|k－＋,kZ}D.{x|k＋＋,kZ}

【解】直接解三角不等式：由sinx>cosx得cosx－sinx<0,即cos2x<0，所以：＋2kπ<2x<＋2kπ，选D；

【另解】数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出单位圆：

利用三角函数线，可知选D。

【例2】七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是_____。

A.1440B.3600C.4320D.4800

【解一】用排除法：七人并排站成一行，总的排法有P种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×P种。因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：P－2×P＝3600,对照后应选B；

【解二】用插空法：P×P＝3600。

直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错。

二、 特例法：

用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断的方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。

【例3】定义在区间(-∞，∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞）的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)－g(-b);③f(a)－f(-b)>g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)－g(-a).其中成立的是（）

A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④

【解】令f(x)＝x，g(x)＝|x|，a＝2，b＝1,则：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3,g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正确；f(a)－f(-b)＝2－（－1）＝3,g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正确。所以选C。

【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，从而①式正确；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，从而③式正确。所以选C。

【例4】如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝______。

A.2B.2C.2D.(n－1)2

【解】用特值法：当n＝2时，代入得C＋C＝2,排除答案A、C；当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8,排除答案D。所以选B。

【另解】直接法：由二项展开式系数的性质有C＋C＋…＋C＋C＝2，选B。

当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得愈简单愈好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略。近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右。

三、 筛选法:

从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确判断的方法叫筛选法或剔除法。

【例5】已知y＝log (2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是_____。

A.[0,1]B.(1,2]C.(0,2)D.[2,+∞)

【解】∵2－ax是在[0,1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x<1，这与[0,1]不符合，排除答案C。所以选B。

【例6】过抛物线y＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是______。

A.y＝2x－1B.y＝2x－2C.y＝－2x＋1D.y＝－2x＋2

【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；

【另解】直接法：设过焦点的直线y＝k(x－1)，则，消y得：

kx－2(k＋2)x＋k＝0,中点坐标有，消k得y＝2x－2，选B。

筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择。它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％。

四、 代入法：

将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫代入法，又称为验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。

【例7】函数y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是_____。

A． B. C.2D.4

【解】代入法：f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而

f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x)。所以应选B；

【另解】直接法：y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，选B。

【例8】母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角等于_____。

A. B. C. D.

【解】代入法：四个选项依次代入求得r分别为：、、、，再求得h分别为：、、、，最后计算体积取最大者，选D。

【另解】直接法：设底面半径r，则V＝πr＝π≤…

其中＝，得到r＝，所以＝2π／1＝，选D。

代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

五、 图解法：

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法。

【例9】在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是_____。

y

Ox

A.（，）B.(,－)C.(－,)D.(－,－)

【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A。

【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得。

M-i

2

【例10】已知复数z的模为2，则|z－ｉ|的最大值为_______。

A.1B.2C. D.3

【解】图解法：由复数模的几何意义，画出右图，可知当圆上的点到M的距离最大时即为|z－ｉ|最大。所以选D；

【另解】不等式法或代数法或三角法：

|z－ｉ|≤|z|＋|ｉ|＝3,所以选D。

数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；97年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右。

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，不管是什么方法，甚至可以猜测。但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确理由与错误的原因，这样，才会在高考时充分利用题目自身的提供的信息，化常规为特殊，避免小题作，真正做到熟练、准确、快速、顺利完成三个层次的目标任务。

填空题解答策略

填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严重。我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法。

Ⅰ、示范性题组：

一、直接推演法：

直接法就是根据数学概念，或者运用数学的定义、定理、法则、公式等，从已知条件出发，进行推理或者计算得出结果后，将所得结论填入空位处，它是解填空题最基本、最常用的方法。

【例1】已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0,π)，则tgθ的值是。

【解】已知等式两边平方得sinθcosθ＝－，解方程组得sinθ＝，cosθ＝，故答案为：－4÷3。

【另解】设tg＝t，再利用万能公式求解。

二、特值代入法：

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值，这样，简化了推理、论证的过程。

【例3】已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋…＋ax，那么a＋a＋…＋a＝。

【解】令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋…＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋…＋a＝－1－1=－2。

【例4】（90年高考题）在三棱柱ABC—A’B’C’中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB’C’F将三棱柱分成体积为V、V的两部分，那么V:V＝。

【解】由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V＝4，而V＝（1＋＋4）=，V＝V－V＝，则V:V＝7:5。

三、图解法：

一些计算过程复杂的代数、三角、解析几何问题，可以作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，利用图示辅助进行直观分析，从而得出结论。这也就是数形结合的解题方法。

y

O2x

【例5】不等式>x＋1的解集是。

【解】如图，在同一坐标系中画出函数y＝与y＝x＋1的图像，由图中可以直观地得到：－≤x<2，所以所求解集是[－,2)。

y

O13|k|x

【例6】若双曲线－＝1与圆x＋y＝1没有公共点，则实数k的取值范围是。

【解】在同一坐标系中作出双曲线－＝1与圆x＋y＝1，由双曲线的顶点位置的坐标，可以得到|3k|>1,故求得实数k的取值范围是k>或k<－。

解答题答题策略

一、解答题的地位及考查的范围

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、题解决问题的能力，主要有：三角函数、概率与统计、解析几何(或与平面向量交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显着的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点并及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．

二、解答题的解答技巧

解答题是高考数学试卷的重头戏，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．

(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．

(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：

①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却可以得到一半以上．

②跳步解答：第一步的结果往往在解第二步时运用．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．

③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．

④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．

三、怎样解答高考数学题

1．解题思维的理论依据

针对备考学习过程中，考生普遍存在的共性问题：一听就懂、一看就会、一做就错、一放就忘，做了大量的数学习题，成绩仍然难以提高的现象，我们很有必要对自己的学习方式、方法进行反思，解决好“学什么，如何学，学的怎么样”的问题．要解决这里的“如何学”就需要改进学习方式，学会运用数学思想方法去自觉地分析问题，弄清题意，善于转化，能够将面对的新问题拉入自己的知识网络里，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现学习效率的最优化．

美国着名数学教育家波利亚在名着《怎样解题》里，把数学解题的一般思维过程划分为：弄清问题→拟订计划→实现计划→回顾．这是数学解题的有力武器，对怎样解答高考数学题有直接的指导意义．

2．求解解答题的一般步骤

第一步：(弄清题目的条件是什么，解题目标是什么？)

这是解题的开始，一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，多方位、多角度地看问题，不能机械地套用模式，而应从各个不同的侧面、角度来识别题目的条件和结论以及图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系，从而利于解题方法的选择和解题步骤的设计．

第二步：(探究问题已知与未知、条件与目标之间的联系，构思解题过程．)

根据审题从各个不同的侧面、不同的角度得到的信息，全面地确定解题的思路和方法．

第三步：(形成书面的解题程序，书写规范的解题过程．)

解题过程其实是考查学生的逻辑推理以及运算转化等能力．评分标准是按步给分，也就是说考生写到哪步，分数就给到哪步，所以卷面上讲究规范书写．

第四步：(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及考查的知识、技能、基本活动经验等．)

(1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程，一般来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，若觉得运算挺顺利则好，若觉得解答别扭则十有八九错了，这就要认真查看演算过程．

(2)特殊检验——即取特殊情形验证，如最值问题总是在特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答案是否吻合．

主要题型：(1)三角函数式的求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解斜三角形的交汇；(5)单纯解斜三角形；(6)解斜三角形与平面向量的交汇．

【例1】?已知向量m＝(sinx,1)，n＝(Acosx，cos2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.

(1)求A；

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．

[审题路线图]

条件f(x)＝m·n

?两个向量数量积(坐标化)(a·b＝x1x2＋y1y2)

?化成形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式．

(二倍角公式、两角和的正弦公式)

?A＞0，f(x)的最大值为6，可求A.

?向左平移个单位，

?纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍．

?由x的范围确定的范围再确定sin的范围，得结论．

[规范解答](1)f(x)＝m·n

＝Asinxcosx＋cos2x(2分)

＝A(sin2x＋cos2x)

＝Asin.

因为A＞0，由题意知A＝6.(6分)

(2)由(1)知f(x)＝6sin.

将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到

y＝6sin＝6sin的图象；

(8分)

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．

因此g(x)＝6sin.(10分)

因为x∈，

所以4x＋∈，

故g(x)在上的值域为[－3,6]．(12分)

抢分秘诀

1．本题属于三角函数与平面向量综合的题目，用向量表述条件，转化为求三角函数的最值问题．正确解答出函数f(x)的解析式是本题得分的关键，若有错误，本题不再得分，所以正确写出f(x)的解析式是此类题的抢分点．

2．图象变换是本题的第二个抢分点．

3．特别要注意分析判定4x＋与sin(4x＋)的取值范围．

[押题1]已知a＝2(cosωx，cosωx)，b＝(cosωx，sinωx)(其中0＜ω＜1)，函数f(x)＝a·b，若直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴．

(1)试求ω的值；

(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调递增区间．

解　(1)f(x)＝a·b

＝2(cosωx，cosωx)·(cosωx，sinωx)

＝2cos2ωx＋2cosωxsinωx

＝1＋cos2ωx＋sin2ωx

＝1＋2sin.

∵直线x＝为对称轴，∴sin＝±1，

∴＋＝kπ＋(k∈Z)．

∴ω＝k＋(k∈Z)．

∵0＜ω＜1，∴－＜k＜，∴k＝0，∴ω＝.

(2)由(1)得，得f(x)＝1＋2sin，

∴g(x)＝1＋2sin

＝1＋2sin＝1＋2cosx.

由2kπ－π≤x≤2kπ(k∈Z)，

得4kπ－2π≤x≤4kπ(k∈Z)，

∴g(x)的单调递增区间为[4kπ－2π，4kπ](k∈Z)．

【例2】?在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.

(1)求tanC的值；

(2)若a＝，求△ABC的面积．

[审题路线图]

(1)由条件cosA＝(0＜A＜π)．

?由sinA＝，可求sinA.

?由cosC＝sinB＝sin(A＋C)，

?展开可得sinC与cosC的关系式，可求tanC.

(2)由tanC的值可求sinC及cosC的值．

?再由sinB＝cosC可求sinB的值．

?由a＝及＝，可求C.

?由S△ABC＝acsinB可求解．

[规范解答](1)因为0＜A＜π，cosA＝，得

sinA＝＝.

又cosC＝sinB＝sin(A＋C)

＝sinAcosC＋cosAsinC

＝cosC＋sinC.

所以tanC＝.(6分)

(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.

于是sinB＝cosC＝.

由a＝及正弦定理＝，得c＝.

设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.(12分)

抢分秘诀

1．本题主要考查了三角恒等变换、正弦定理等基础知识，同时考查了运算求解能力．

2．熟练利用三角恒等变换求得所需的量是本题的第1抢分点．

3．熟用三角形面积公式与正弦定理是第2抢分点．

[押题2]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.

(1)求cosA；

(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.

解　(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，

得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，

即cos(B＋C)＝－，

从而cosA＝－cos(B＋C)＝.

(2)由于0＜A＜π，cosA＝，所以sinA＝.

又S△ABC＝2，即bcsinA＝2，解得bc＝6.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，

解方程组得或