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最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）

1.【2009 年陕西卷】 21．（本小题满分 12 分）

（I ）求双曲线 C的方程；

(II) 如图， P是双曲线 C上一点， A，B两点在双曲线 C的两

条 渐 近 线 上 ， 且 分 别 位 于 第 一 、 二 象 限 ， 若

1

AP PB, [ ,2] ，求 AOB 面积的取值范围。

3

【答案】

21．（本小题满分 14 分）

（Ⅰ）求双曲线 C的方程；

（Ⅱ） 如图，P 是双曲线 C上一点， A,B 两点在双曲线 C的两条渐近线上，且分别位于第

2 5

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线 C的顶点 (O, a) 到渐近线 ax by 0

的距离为 ，

5

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（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线 C的两条渐近线方程为 y 2x.

设 A(m,2 m), B( n,2 n), m 0,n 0.

1 1 1

S |OA | |OB | sin 2 2mn ( ) 1.

AOB

2 2

解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线 AB的方程为 y kx m,由题意知 |k | 2,m 0.

设 Q为直线 AB与 y 轴的交点，则 Q点的坐标为（ 0，m）.

1 1 1

S S S | OQ | | XA | |OQ | | x8| m (xA xB)

AOB AOQ BOQ

2 2 2

.

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以下同解答一 .

2.【2010 年陕西卷】 20. （本小题满分 13 分）

l 如图，椭圆 C

A

n （Ⅰ）求椭圆 C的方程；

椭圆相交于 A,B 亮点的直线， | OP |=1 ，是否存在上述直线

B1 l 使 AP PB 1成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存

在，请说明理由。

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

假设使 AP PB 1成立的直线 l 存在，

（ⅰ）当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 的方程为 y kx m ，

由l 与n 垂直相交于 P 点且| OP |=1 得

.

.

∵ AP PB 1，| OP |=1 ，

∴OA OB (OP PA) (OP PB)

= 1+0+0-1=0,

将 y kx m 代入椭圆方程，得

2 2 2

(3 4k ) x 8kmx (4m 12) 0

0 x x y y x x (kx m)(kx m)

1 2 1 2 1 2 1 2

将④，⑤代入上式并化简得

2 2 2 2 2 2

(1 k )(4 m 12) 8k m m (3 4k ) 0 ⑥

即此时直线 l 不存在

（ⅱ）当 l 垂直于 x 轴时，满足 | OP | 1的直线 l 的方程为 x=1 或 x=-1 ，

当 x=-1 时，同理可得 AP PB 1，矛盾

即此时直线 l 也不存在

综上可知，使 AP PB 1成立的直线 l 不存在

.

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3. 【2011 年陕西卷】 17．（本小题满分 12 分）

（Ⅰ）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；

【答案】 17．解：（Ⅰ）设 M 的坐标为（ x,y）P 的坐标为（ xp,yp）

xp x,

将直线方程 4 3

y x 代入 C 的方程，得

5

16 41 41 2 2 2

AB x x y y 1 x x 41

1 2 1 2 1 2

25 25 5

18．（本小题满分 12 分）

叙述并证明余弦定理。

4. 【2012 年陕西卷】 19. （本小题满分 12 分）

程.

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5. 【2013 年陕西卷】 20. (本小题满分 13 分)

已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ;

(Ⅱ) 已知点 B(－1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是

PBQ 的角平分线 , 证明直线 l 过定点 .

2 【答案】 (Ⅰ) y 8x

抛物线方程 ;(Ⅱ) 定点（ 1,0）

【解析】 (Ⅰ) A(4,0),设圆心 C

2 2 2 2 2

（

x 4) y 4 x y 8x

(Ⅱ) 点 B(－1,0),

2 2

设 .

P(x1, y ), Q(x , y ),由题知 y y 0，y y 0, y 8x , y 8x

1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2

y y 1

2

直线 PQ 方程为： (8 )

2 1

y y1 (x x ) y y x y

1 1 1

x x y y

2 1 2 1

.

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所以，直线 PQ 过定点（ 1,0）

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