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    黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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    黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试
    数学（文）试题
    一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
    1.在复平面内，复数A.第一象限【答案】D【解析】【分析】
    利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案．【详解】在复平面内，复数故选：D．
    【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.若A.【答案】A【解析】【分析】
    由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【详解】若故选：A．
    【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．3.
    ，则
    （），则
    ，
    ，则
    B.
    =（）
    C.

    D.


    ，
    ，位于第四象限．
    （为虚数单位）对应的点位于（）B.第二象限
    C.第三象限
    D.第四象限
    对应的点的坐标为


    A.B.C.D.
    【答案】C【解析】【分析】
    根据题意，由函数的解析式分析可得
    ，计算即可得答案．
    【详解】根据题意，，且，
    则故选：C．
    .
    【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题．
    4.已知在等比数列A.【答案】D【解析】【分析】
    设公比为，由等比数列的通项公式可得
    ，由此求出的值，再由
    ，即
    ，解得
    求得结果．，
    中，
    B.
    ，
    ，则
    （）C.

    D.
    【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得

    故选：D．
    【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
    5.等差数列A.

    中，
    B.
    ，则
    （）C.

    D.

    【答案】B【解析】【分析】

    根据等差中项的性质，，所以，再将转化为含有的算式即可．
    【详解】因为数列为等差数列，所以，
    ，
    则，
    故选：B．
    【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差中项和等差数列的前n项和．属于基础题．
    6.已知向量，则“
    ”是“与反向”的（）
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C【解析】
    与反向则存在唯一的实数，使得
    ，即

    所以是“与反向”的充要条件
    故选C
    7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）

    A.B.C.
    D.

    【答案】D【解析】【分析】利
    用
    向量的三角形法则和向量共线定理可得
    ：

    【详解】利用向量的三角形法则，可得
    为
    的中点，为
    的中点，则
    ，
    又
    故选D
    【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：
    一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
    二坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．8.在A.
    【答案】A【解析】【分析】
    根据题意，由
    大小，分析可得答案．【详解】根据题意，在又由又由
    ，可得
    故选：A．
    是
    中，、、分别为内角、、的对边，若
    B.或

    C.
    的值求出
    的值，结合正弦定理可得中,
    ，则，所以
    ，则
    ，则
    ；
    .
    ，
    .

    ，，，，

    ，即可得出答案.
    ，

    ，，，则D.或
    （）
    ，计算可得的值，比较、的
    ，且为锐角；
    .


    【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．
    9.对于非零向量，，，下列命题中正确的是（）A.若B.若C.若D.若【答案】B【解析】【分析】
    由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解，【详解】对于选项，若对于选项，若对于选项，若对于选项，若
    综上可知：选项B正确，故选：B．
    【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.
    10.已知函数
    是定义在上的奇函数，对任意的，则
    A.【答案】A【解析】【分析】根据题意，对
    ，
    【详解】根据题意，函数
    变形可得
    ，则函数
    是周期为的周期函数，据此可得与，则
    的值，相加即可得答案．
    ，
    B.
    （）
    C.

    D.

    都有
    ，当
    时，
    ，所以
    ，所以，则
    ，所以
    =或
    或
    与垂直，所以故错误，
    ，则
    ，则=

    ，则在上的投影为
    ，则

    ，故正确，
    ，故错误，
    ，也有可能

    ，故错误，
    ，则在上的投影为
    ，不能推出
    ，结合函数的解析式以及奇偶性求出满足任意的
    都有


    则函数是周期为的周期函数，
    ，

    ，
    ，
    又由函数是定义在上的奇函数，则时，
    ，则
    ；
    ；
    则故故选：A．
    【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．11.已知A.C.【答案】A【解析】【分析】
    解析式提取变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出
    的值域，利用余弦函数的单调性可求单调递增区间．

    ，，
    则由故选：A．
    【点睛】此题考查了两角和与差余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域及单调性，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
    的值域为
    ，即．
    ，可得：
    ，由余弦函数的图像得单调增区间为：
    ．
    ，
    ，
    ，
    ，则函数的值域和单调增区间分别为（）
    B.D.

    【详解】


    12.在中，、、分别为内角、、的对边，
    ，则
    的最大值为（）B.
    C.
    ，，点为线段上一点，
    A.【答案】B【解析】【分析】由
    D.
    ，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，
    均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，【详解】
    ，，
    化简可得，
    ，
    ，

    ，且
    过分别作
    ，
    ，
    均为单位向量，
    ，
    ，结合基本不等式可求．
    ，垂足分别为，，

    则，，


    ，
    两式相加可得，
    ，

    ，当且仅当
    时取等号，
    由基本不等式可得，解可得，则

    的最大值为．
    故选：B．
    【点睛】本题综合考查了余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，
    二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
    13.数列
    满足
    ，
    ，则数列
    的前项和
    ______．
    【答案】120【解析】【分析】
    ，利用
    【详解】
    ，数列
    ，，
    故答案为
    ．
    ，
    是等比数列可得的通项公式，从而可得．
    ，又
    ，
    是首项为，公比为的等比数列，
    ，
    【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题．14.函数
    （
    ，
    ）的部分图象如图所示，则
    的解析式为______．



    【答案】【解析】【分析】由函数

    的部分图象，求出、、和的值，即可写出
    的部分图象知，
    ，
    时，
    ．
    ．，解得
    ，
    ，
    ，
    的解析式．
    【详解】由函数
    ，由所以故答案为：
    【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了三角函数的解析式的求法，是基础题．
    15.已知向量【答案】【解析】【分析】
    设与的夹角为，由条件【详解】设与的夹角为，平方可得解得故答案
    ，：．
    ，
    ，
    ，平方可得，则由
    ，由此求得的值．，
    ，
    ，
    ，则与的夹角为______．
    【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
    16.已知数列
    的前项和满足：
    ______．
    ，数列
    ，前
    项和为
    ，则满足
    的最小正整数
    【答案】6


    【解析】【分析】
    先求出，，再利用等比数列求和公式得【详解】
    时，
    ，又时，
    ，
    ，


    ，
    ，再解不等式可得的最小值．
    是以为首项，为公比的等比数列，
    ，，

    由
    时，时，
    故的最小值为．故答案为：
    【点睛】本题考查了利用项和公式求数列的通项，考查了等比数列的求和，属中档题．
    得
    ，，
    ，得
    ，
    ，
    三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
    17.已知公差不为零的等差数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设数列【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】
    （Ⅰ）设公差为，根据题意列方程组可得【详解】（Ⅰ）设又
    ，
    ，
    的公差为，则
    ，
    ，由此可得；（Ⅱ）使用裂项相消求和可得．
    ，
    ，
    的通项公式；满足；（Ⅱ）
    .
    ，求数列
    前项和．
    的前项和为，若
    ，且，，成等比数列．


    ，
    ．
    （Ⅱ）

    ，

    ．
    【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了数列求和，属中档题．18.已知
    的内角，，所对的边分别为，，，且
    ．
    （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若
    ，
    ，求.
    的值．
    【答案】（1）（2）2＋【解析】（Ⅰ）由即（Ⅱ）由又
    ，∴
    ，得
    ，得，∴
    ，故，即，②，所以
    ．．，①
    ，
    由①②可得
    【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用

    19.已知数列
    中，
    且

    是等比数列；的前项和．
    .

    ．
    三者的关系解题.
    （Ⅰ）求，；并证明（Ⅱ）设【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】
    ，求数列
    ，证明见解析；（Ⅱ）


    （Ⅰ）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入
    和到
    的关系，最终得证数列
    进行计算化简最终会得到
    是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得的通项公式，得
    的前项和．
    ，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列
    【详解】（Ⅰ）由题意，可知：

    ①当②当
    时，时，

    数列
    ．，




    ，．
    是以为首项，为公比的等比数列．
    （Ⅱ）由（Ⅰ），可知：
    ，


    ，③

    ③-④，可得：

    ，

    【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和．本题属中档题．


    ④
    ．
    ．

    ．


    20.已知椭圆
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．
    （Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线该直线斜率．【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】
    ；（Ⅱ）
    .
    和椭圆交于，点．若四边形面积为，求
    （Ⅰ）由抛物线方程求得焦点，得到，再由离心率求得，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，求解的坐标，得到．
    【详解】（Ⅰ）由抛物线又
    ，得
    ，
    ；，
    ，
    ，得焦点
    ．
    ，则
    ，
    ，再由点到直线的距离公式求得，到
    的距离，代入面积公式求
    椭圆的标准方程为（Ⅱ）由椭圆方程可得：如图，

    联立，得，，
    ．
    到直线的距离为，到直线的距离为．


    四边形面积，
    解得：．
    【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知（Ⅰ）列表求（Ⅱ）当（i）求证：（ii）若
    在时，；恒成立，求
    取值范围
    .

    的所有极值；
    【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】
    （Ⅰ）求出函数的导函数，由导函数大于求其增区间，导函数小于求其减区间；（Ⅱ）（i）构造辅助函数（ii）构造辅助函数求在不同取值范围内时的【详解】（Ⅰ）因为
    ，
    所以函数的极大值为（Ⅱ）（i）令
    ，极小值为
    .
    递增
    ，把问题转化为求
    时，
    的最小值，由最小值大于等于得到的取值范围；，所以


    ，
    ，的变化关系如下表：


    的
    ，
    ，把问题转化为求
    时，







    递减

    递增
    ，然后对的值进行分类讨论，
    极大值


    ，
    令
    在
    ，则
    上是增函数，则恒成立，
    ；

    （ii）令要使
    恒成立，只需当
    ，
    令①当
    时，
    ，
    ②当则当③当
    时，时，时，
    ，恒成立，
    不符合题意
    在，即
    ，由（i）得恒成立，
    在
    ，上为增函数，时，
    ，
    在
    对，
    上为增函数，
    恒成立，
    满足题意；
    上有实根，
    在
    上是增函数，
    不符合题意；上为减函数，
    ．
    【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想以及三角函数的性质，是一道综合题．
    22.在直角坐标系
    中，曲线
    ，曲线
    （为参数）．以坐标原点为极点，以
    轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）射线的极坐标方程为的取值范围．【答案】（Ⅰ）
    ，
    ；（Ⅱ）
    .
    ，若分别与，交于异于极点的，两点．求


    【解析】【分析】
    （Ⅰ）根据互化公式可得的极坐标方程，消去参数得曲线的直角坐标方程，再根据互化公式可得的极坐标方程.（Ⅱ）联立射线与，的极坐标方程，利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得．【详解】（Ⅰ）由曲线由曲线得（Ⅱ）联立
    得
    ，得，
    ，得
    ；
    （为参数）消去参数可得，即解得
    ；，
    联立，解得，
    ，
    ，
    设
    由于函数f(t是减函数，
    时，所以
    ，
    ，
    取得最小值的取值范围是
    ，．
    时，取得最大值，
    【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程法互化，考查了函数的最值的求法，考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
    23.已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）若
    ，，

    ，求不等式，且
    的解集；，求证：
    ．
    【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】
    ；（Ⅱ）证明见解析.


    （Ⅰ）利用分类讨论法解不等式求不等式再根据基本不等式可得【详解】（Ⅰ）解得故不等式（Ⅱ）∵
    ，
    的解集为时，∴

    故
    ．
    ，
    ；
    时，
    的解集；（Ⅱ）先用绝对值不等式的性质求得，
    ，利用不等式的传递性可得．
    或
    或
    ，
    ，当且仅当时，取等.
    当且仅当时取等．
    【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题．


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