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    2014届北京体育大学附中高考数学一轮复习单元训练：《数系的扩充与复数的引入》

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    数系的扩充与复数的引入
    本试卷分第Ⅰ卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题两部分．满分150分．考试时间120分钟．
    第Ⅰ卷(选择题共60分
    一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z
    13i
    的虚部是(1i
    A．2B．2
    C．2iD．2i
    【答案】B
    2．已知i为虚数单位，则
    A．
    1
    4
    i
    的实部与虚部之积等于(1i
    11B．C．i
    44
    D．
    1
    i4
    【答案】A3．已知
    m
    1ni,其中m,n是实数，i是虚数单位，则mni(1iA．12iB．12iC．2iD．2i
    【答案】C
    4．复数(1ai(2i的实部和虚部相等，则实数a等于(
    1
    B．3
    1C．2
    A．-1【答案】B5．复数
    D．1
    的值为(
    B．+I
    C．-i
    A．-I【答案】C
    D．I
    6．已知zi(i1，那么复数z在复平面内对应的点位于(A．第一象限B．第二象限C．第三象限【答案】C
    7．已知复数z1i，那么z对应的点位于复平面内的(
    A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D
    8．已知i为虚数单位，则复数z23i对应的点位于(
    D．第四象限
    1i
    A．第一象限【答案】C
    B．第二象限C．第三象限D．第四象限
    9．设zC，且zz2i，则z(



    A．1【答案】C
    i2
    B．(C．ii
    242
    153
    D．1
    i
    2
    10．设复数z(13i(2i（其中i是虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于(
    A．第一象限B．第二象限C．第三象限【答案】D
    11．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝(
    A．－3iB．3iC．±3i【答案】B
    D．第四象限
    D．4i
    12．已知复数z1ai(aR（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且
    zz5，则a(
    A．2【答案】B
    第Ⅱ卷(非选择题共90分
    二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上13．已知aR，若(1ai(32i为纯虚数，则a的值为。【答案】
    32
    2
    B．2C．2D．2
    14．设zlog2(m3m3ilog2(m3(mR,若z对应的点在直线x2y10上,则m的值是.【答案】15
    1i
    ____________(其中i为虚数单位.2i13
    【答案】i
    55
    15．计算：
    16．已知aR，若复数z(ai24i（i为虚数单位）为实数，则a的值为___________。【答案】2
    三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1
    17．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数对应的不共线
    2的三点．证明：曲线
    4224
    Z=Z0cost+2Z1costsint+Z2sint(t∈R
    与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．【答案】曲线方程为：
    4224224422
    Z=aicost+(1+2bicostsint+(1+cisint=(costsint+sint+i(acost+2bcostsint+cs



    int
    2242222
    ∴x=costsint+sint=sint(cost+sint=sint．(0≤x≤1
    422422
    y=acost+2bcostsint+csint=a(1－x+2b(1－xx+cx
    2
    即y=(a－2b+cx+2(b－ax+a(0≤x≤1．①若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线．
    1131
    AB中点M：+(a+bi，BC中点N：+(b+ci．
    4242
    1131
    与AC平行的中位线经过M(，(a+b及N(，(b+c两点，其方程为
    424213
    4(a－cx+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤．②
    44令4(a－2b+cx+8(b－ax+4a=4(c－ax+3a+2b－c．
    2
    即4(a－2b+cx+4(2b－a－cx+a－2b+c=0．由a－2b+c0，得2
    4x+4x+1=0，
    131
    此方程在[，]内有惟一解：x=．
    44211
    以x=代入②得，y=(a+2b+c．
    2411
    ∴所求公共点坐标为(，(a+2b+c．
    24
    18．设复数z2i，若z2aib1i，求实数a,b的值．【答案】a3,b2
    2
    4
    m(m2
    (m22m3i，当m为何值时，
    m1
    (1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？
    19．已知mR，复数z
    m22m30
    【答案】（1）若z为实数，则有
    m10
    即
    m3或m1

    m1
    m3
    m22m30(2）若z为虚数，则有
    m10
    即
    m3且m1

    m1
    m3且m1



    m(m2m10
    (3）若z为纯虚数，则有m22m30，
    m10
    m0或m2

    即m3且m1m1
    m0或m2
    20．设复数z满足z10，且12iz(i是虚数单位在复平面上对应的点在直线yx上，求z.
    【答案】设zxyi（x、yR）
    ∵|z|10，∴x2y210
    而(12iz(12i(xyi(x2y(2xyi又∵12iz在复平面上对应的点在直线yx上，∴x2y2xy
    x2y210x3x3即，∴或
    y1y1x3y
    即z(3i
    21．设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足
    a2a3a4a5
    aaaa1234
    其中S为实数且|S|≤2．
    11111aaaaa4(S12345
    a1a2a3a4a5
    求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．a2a3a4a54234234
    【答案】设====q，则由下式得a1(1+q+q+q+q=4(1+q+q+q+q．
    a1a2a3a4a1q∴(a1q－4(1+q+q+q+q=0，故a1q=±2，或1+q+q+q+q=0．
    11121112522
    ⑴若a1q=±2，则得±2(2++1+q+q=S．S=±2[(q++(q+－1]=±2[(q++－]．
    qqqqq2411251125
    ∴由已知，有(q++－∈R，且|(q++－|≤1．
    q24q24
    1152
    令q++=h(cosθ+isinθ，(h>0．则h(cos2θ+isin2θ－∈R．sin2θ=0．
    q2451922
    －1≤h(cos2θ+isin2θ－≤1．≤h(cos2θ+isin2θ≤，cos2θ>0．θ
    444=kπ(k∈Z
    1111
    ∴q+∈R．再令q=r(cosα+isinα，(r>0．则q+=(r+cosα+i(r－sinα∈
    qqrrR．sinα=0或r=1．
    24
    2
    3
    4
    2
    2
    3
    4



    1111511
    若sinα=0，则q=±r为实数．此时q+≥2或q+≤－2．此时q++≥，或q++≤
    qqq22q23
    －．2
    1125
    此时，由|(q++－|≤1，知q=－1．此时，|ai|=2．
    q24
    若r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上．2345
    ⑵若1+q+q+q+q=0．则q－1=0，∴|q|=1．此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上．
    综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．22．已知复数z12i（i为虚数单位）
    (Ⅰ）把复数z的共轭复数记作z，若zz143i，求复数z1；
    (Ⅱ）已知z是关于x的方程2x2pxq0的一个根，求实数p，q的值。【答案】（Ⅰ）由题意得
    z12i
    所以z1
    43i(43i(12i
    2i12i(12i(12i
    (Ⅱ）由题意知
    2(12i2p(12iq0
    化简得(6pq(82pi0则有6pq0
    82p0
    解得p4
    q10




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