逆命题与逆定理（提高）巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. 下列命题的逆命题中假命题的个数是（　　）．

①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，D是线段AB、BC垂直平分线的交点，若∠ABC＝150°，则∠ADC的大小是（　　）．

A．60° B．70° C．75° D．80°

3．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝60° 那么∠EAC＝（　　）．

A．40° B．30° C．15° D．45°

4．（2016•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°

5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（ ）．

A.11 B.5.5 C.7 word/media/image5_1.png D.3.5

6．下列定理有逆定理的是（　　）．

A．如果a＝b，那么a2＝b2

B．对顶角相等

C．若三角形中有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角．

D．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二.填空题

7．如图，在△ABC中，∠C＝90度，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离为　 　．

8．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：　 　．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，则∠EBC＝ ．

10．（2016•西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=　 　．

11．如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．则△OBC的面积为　 cm2．

12.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数为 ．

三.解答题

13．如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．

14．如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．

（1）若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数．

（2）若AB=AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．

15．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．

【答案与解析】

一.选择题

1．【答案】A；

【解析】分别写出四个命题的逆命题：等腰三角形是两边相等的三角形；角平分线上的点到角的两边的距离相等；有两个角互余的三角形为直角三角形；面积相等的三角形全等；然后根据等腰三角形性质、角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形全等的判定分别进行判断它们的真假．

2．【答案】A；

【解析】连接BD．根据线段垂直平分线的性质，得AD＝BD＝CD，根据等边对等角，得∠A＝∠ABD，∠C＝∠CBD．根据∠ABC＝150°和四边形的内角和定理，即可求得∠ADC的度数．

3．【答案】D；

【解析】先根据角平分线的定义求出∠DAC、∠DAB的度数；再根据角平分线的定义求出∠EAD的度数；再根据角的和差关系求解即可．

4．【答案】A；

【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，

∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，

∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．

5．【答案】B；

【解析】解： 过D点作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC

∴DF＝DH

在Rt△EDF和Rt△GDH中

DE＝DG，DF＝DH

∴Rt△EDF≌Rt△GDH

同理可证RtADF和Rt△ADH

∴word/media/image16_1.png

∴word/media/image17_1.png＝50－39＝11，

∴△EDF的面积为5.5

6．【答案】D；

【解析】A、逆命题是“若a2＝b2，则a＝b”当a＝﹣1，b＝1时，题设成立，但结论不成立，故本选项错误．B、逆命题是“相等的角是对顶角”，对顶角还必须满足一个角的两条边是另一个角的两边反向延长线，故本选项错误．C、逆命题是“如果三角形的两个内角是锐角，那么三角形的另一个内角是钝角”如果三角形的两个内角是锐角，那么三角形的另一个内角可以是锐角，直角，钝角，故本选项错误．D、逆命题是“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么它所对的角为30°”，故本选项正确．

二.填空题

7．【答案】3；

【解析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离＝CD＝3．

8．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形；

【解析】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．

故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．

9．【答案】24°；

【解析】根据相等垂直平分线性质得出AE＝BE，求出∠A＝∠ABE＝33°，根据三角形的内角和定理求出∠ABC，相减即可求出答案．

10．【答案】2；

【解析】解：作PE⊥OA于E，则PE=PD

∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，

∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2，∴PD=PE=2，故答案是：2．

11．【答案】20；

【解析】过点C作CF⊥OM于点F，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得OB＝AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得AC＝CF，再根据三角形的面积计算公式得出△OBC的面积．

12．【答案】100°；

【解析】连接OB，则OB＝OC＝OA，EO＝EC．

三.解答题

13.【解析】

证明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N

word/media/image20_1.png，word/media/image21_1.png，且word/media/image22_1.pngword/media/image23_1.png

∴ word/media/image24_1.pngword/media/image25_1.png

又∵AC＝BD

∴PM＝PN

又∵PM⊥OA，PN⊥OB

∴OP平分∠AOB

14.【解析】

解：（1）∵∠A=50°，

∴∠ABC=∠C=65°，

又∵DE垂直平分AB，

∴∠A=∠ABD=50°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=15°．

（2）∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，AE=BE，

∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18cm．

∵△ABC的周长=30cm，

∴AB=30﹣18=12cm，

∴BE=AE=6cm．

15.【解析】

证明：∵EF是AD的垂直平分线，

∴AF＝DF，

∴∠FAD＝∠ADF，

∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠ADF＝∠B+∠DAB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB＝∠CAD，

∴∠CAF＝∠B，

∴∠BAC+∠FAC＝∠B+∠BAC，

即∠BAF＝∠ACF．