福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值教案 新人教A版必修1

1.3.1 单调性与最大（小）值

第一课时 函数的单调性

三维目标定向

〖知识与技能〗

（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；

（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。

〖过程与方法〗

借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。

〖情感、态度与价值观〗

渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。

教学重难点

〖重点〗函数单调性的概念。

〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。

教学过程设计

一、问题情境设疑

引例：画出一次函数word/media/image3_1.png和二次函数word/media/image4_1.png的图象。（几何画板）

问题：以上两个图象有什么特征？——“上升”、“下降”

上升：随着x的增大，相应的f (x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f (x)减小。

二、核心内容整合

1、函数的单调性的概念：

问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？——学生探究。

增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数。

学生类比得出

减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数。

〖知识提炼〗同增异减

注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当word/media/image6_1.png时，总有word/media/image7_1.png或word/media/image8_1.png，分别是增函数和减函数。

2、函数的单调性的定义

如果函数word/media/image9_1.png在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数word/media/image9_1.png在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做word/media/image9_1.png的单调区间。

3、基本初等函数的单调性

（1）一次函数word/media/image12_1.png：

当a > 0时，在word/media/image13_1.png上是增函数；

当a < 0时，在word/media/image13_1.png上是减函数。

（2）反比例函数word/media/image16_1.png：

当k > 0时，在word/media/image17_1.png和word/media/image18_1.png上是减函数；

当k < 0时，在word/media/image17_1.png和word/media/image18_1.png上是增函数。

（3）二次函数word/media/image19_1.png：

当a > 0时，在word/media/image20_1.png上是增函数，在word/media/image21_1.png上是减函数；

当a < 0时，在word/media/image20_1.png上是减函数，在word/media/image21_1.png上是增函数；

三、例题分析示例

例1、如图是定义在区间[– 5，5]上的函数word/media/image25_1.png，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2、物理学中的玻意耳定律word/media/image26_1.png（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。

〖知识提炼〗用定义证明函数的单调性的一般步骤：

（1）取值：设x1 , x2是给定区间上任意的两个值，且x1 < x2；

（2）作差变形：f (x1) – f (x2)；（变形手段：通分、因式分解、配方、有理化等。）

（3）定号：确定f (x1) – f (x2)的符号；

（4）判断：当f (x1) < f (x2)时，word/media/image27_1.png是增函数；当f (x1) > f (x2)时，word/media/image28_1.png是减函数。

〖探究〗画出反比例函数word/media/image29_1.png的图象。

（1）这个函数的定义域I是什么？

（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。

四、学习水平反馈：P32练习，1，2，3，4。

五、三维体系构建

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分四步：

取值——作差——定号——判断

六、课后作业：P39，习题1.3，A组1，2，3。 教学反思