“头之差、腿之和”类型的鸡兔同笼题的五种常规解法

题：鸡兔同笼，共有足248只，兔比鸡少52只，兔有几只？鸡有几只？

解法1：设鸡腿求兔头。假设248条腿都是鸡腿，则有鸡头248÷2＝124只，鸡比兔多124只，与题意的52相差124－52＝72只。为了把这个差缩小为0，需要换出鸡，换入兔。为了在交换时保持总腿数不变，每次换出4条鸡腿，换入4条兔腿（即每次换出2鸡，换入1兔），这个差能缩小2＋1＝3。所以需要换72÷3＝24次。即：换入24只兔后，满足题意。说明兔应该有24只，则鸡有24＋52＝76只。综合算式如下：

兔：(248÷2－52)÷(2＋1)＝24(只)

鸡：24＋52＝76(只)

解法2：设兔腿求鸡头。假设248条腿都是兔腿，则有兔头248÷4＝62只，兔比鸡多62只，与题意的“兔比鸡少52只”相差62＋52＝114只。为了把这个差缩小为0，需要换出兔，换入鸡。为了在交换时保持总腿数不变，每次换出4条兔腿，换入4条鸡腿（即每次换出1兔，换入2鸡），这个差能缩小4÷2＋4÷4＝3。所以需要换114÷3＝38次。即：换入38*2＝76只鸡后，满足题意。说明鸡应该有76只，则兔有76－52＝24只。综合算式如下：

鸡：(248÷4＋52)÷(4÷2＋4÷4)×2＝76(只)

兔：76－52＝24(只)

解法3：设头之差。假设兔有0只，鸡有52只，则有兔腿0条，鸡腿52×2＝104条，腿共104条，与题意的248条相差248－104＝144条。为了增加总腿数，且保持头之差始终为52，需要同时请进鸡和兔。每次请进1鸡1兔，总腿数可增加2＋4＝6条，所以需要请144÷6＝24次，即请进24只兔后，满足题意。说明兔应该有24只，则鸡有24＋52＝76只。综合算式如下：

兔：(248－52×2)÷(2＋4)＝24(只)

鸡：24＋52＝76(只)

解法4：减多余，消灭头之差。请出52只鸡，则鸡兔头数相等，同时总腿数减少了2×52＝104条，变成248－104＝144条。此时，笼内鸡兔头数相等，则兔腿数必为鸡腿数的2倍，与“腿数之和144条”，构成“和倍问题”。

兔：(248－2×52)÷(2＋1)×2÷4＝24(只)

鸡：24＋52＝76(只)

或：鸡：(248－52×2)÷(2＋1)÷2＋52＝76(只)

兔：76－52＝24(只)

解法5：补不足，消灭头之差。请入52只兔，则鸡兔头数相等，同时总腿数增加了4×52＝208条，变成248＋208＝456条。此时，笼内鸡兔头数相等，则兔腿数必为鸡腿数的2倍，与“腿数之和456条”，构成“和倍问题”。

鸡：(248＋4×52)÷(2＋1)÷2＝76(只)

兔：76－52＝24(只)

或：兔：(248＋4×52)÷(2＋1)×2÷4－52＝24(只)

鸡：24＋52＝76(只)

说明：实际上，“头之差、腿之和”类型的鸡兔题，还存在其他的变通解法。有兴趣的同学，可以继续探索。