初等数学基础知识

一、三角函数

1．公式

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

   sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的关系：   

tanα=sinα/cosα   cotα=cosα/sinα
·倒数关系：   

tanα·cotα=1;   sinα·cscα=1;   cosα·secα=1   

三角函数恒等变形公式：

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

2．特殊角的三角函数值

只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。

3诱导公式：

记忆规律：　竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割　

即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）

二、一元二次函数、方程和不等式

三、因式分解与乘法公式

四、等差数列和等比数列

五、常用几何公式

基本初等函数

极限的计算方法

一、初等函数：

二、分段函数：

切线方程为： 法线方程为

基本初等函数的导数公式

(1) ，是常数 (2)

(3) ，特别地，当时，

(4) ， 特别地，当时，

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

函数的和、差、积、商的求导法则

，的和、差、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,

基本初等函数的微分公式

(1)、(为常数)；

(2)、(为任意常数)；

(3)、，特别地，当时，；

(4)、，特别地，当时，；

(5)、；

(6)、；

(7)、；

(8)、；

(9)、；

(10)、；

(11)、；

(12)、；

(13)、；

(14)、．

曲线的切线方程

幂指函数的导数

word/media/image164_1.png

极限、可导、可微、连续之间的关系

条件A 条件B，A为B的充分条件

条件B 条件A，A为B的必要条件

条件A 条件B，A和B互为充分必要条件

边际分析

边际成本 MC =；边际收益 MR =；

边际利润 ML =， = MR—MC

word/media/image172_1.png弹性分析

在点处的弹性，

特别的，需求价格弹性：

罗尔定理

若函数满足： (1) 在闭区间连续；

(2) 在开区间可导；

(3)，则在内至少存在一点，使．

拉格朗日定理

设函数满足:

(1) 在闭区间连续；

(2) 在开区间可导，

则在上至少存在一点，使得．

基本积分公式

(1)

(2)　特别地：

(3)

(4)　　（有时绝对值符号也可忽略不写）

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)（或）

(14)（或）

(15)，

(16)，

(17)，

(18)，

(19)，，

(20)，，

(21)，，

(22)，．

常用凑微分公式

(1)、

(2)、

(3)、

(4)、

(5)、

(6)、

(7)、

(8)、

(9)、

(10)、

(11)、

(12)、

一阶线性非齐次微分方程word/media/image224_1.png的通解为

平面图形面积的计算公式

word/media/image227_1.png

1)区域D由连续曲线

和直线x=a,x=b围成,其中　　　　　　　　　　

word/media/image228_1.png （右图）

word/media/image229_1.png

word/media/image231_1.png

2)区域D由连续曲线

word/media/image232_1.png 和直线x=c,x=d围成,其中　　　　　　　　　　

word/media/image233_1.png （右图）

平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式

1 、绕x轴的旋转体体积（右图）

word/media/image235_1.png

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

2、绕y轴的旋转体体积（右图）

word/media/image237_1.png

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

由边际函数求总函数

总利润函数为。

多元复合函数的导数公式

设函数u =φ(x, y)、v =ψ(x, y)在点(x，y)有偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数z = f (φ(x, y),ψ(x, y))在点(x，y)的偏导数

两个特例：

z = f (u, v)，：

z = f (u)，u = u (x, y)：

隐函数导数公式

二元方程所确定的隐函数：

三元方程F(x, y, z) = 0所确定的二元隐函数：，

1.确定函数定义域的主要依据：

(1)当f(x)是整式时，定义域为R；

(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合；

(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合；

(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围；

(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合；

(6)正切函数的定义域是{}；余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}；

(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.

2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.

幸福，时时刻刻围绕在你身旁。如果你从母亲手中接过饭碗，心存温馨，那就是幸福；如果你在灯下读着朋友来信，品味友情，那就是幸福；如果你独坐一隅，静静听歌，凝神遐思，那就是幸福