2018-2019学年湖北省咸宁市通城县市八年级（下）期末数学试卷

一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）

1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1

2．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣2），则正比例函数的解析式为（　　）

A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x

3．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（　　）

A．赵爽 B．祖冲之 C．刘徽 D．杨辉

4．（3分）某品牌鞋店在一个月内销售某款女鞋，各种尺码鞋的销量如下表所示：

通过分析上述数据，对鞋店业主的进货最有意义的是（　　）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）下列命题中，为假命题的是（　　）

A．两组邻边分别相等的四边形是菱形

B．对角线互相垂直平行的四边形是菱形

C．四个角相等的四边形是矩形

D．对角线相等的平行四边形是矩形

8．（3分）对于函数y＝3﹣x，下列结论正确的是（　　）

A．y的值随x值的增大而增大

B．它的图象必经过点（﹣1，3）

C．它的图象不经过第三象限

D．当x＞1时，y＜0

二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）

9．（3分）计算：＝　 　．

10．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　 　．

11．（3分）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）　 　．

12．（3分）如图，直线y＝x+1与直线y＝ax+b相交于点A（m，3），则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是　 　．

13．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长是　 　cm．

14．（3分）观察下列各式：32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，92＝40+41…根据发现的规律得到132＝　 　+　 　．

15．（3分）某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费y（元）是用水x（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为　 　立方米．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的边长为8，∠AOB＝60°．点D是边OB上一动点，点E在BC上，且∠DAE＝60°．有下列结论：

①点C的坐标为（12，）；

②BD＝CE；

③四边形ADBE的面积为定值；

④当D为OB的中点时，△DBE的面积最小．

其中正确的有　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）

17．（8分）计算：

（1），

（2）（）（）．

18．（8分）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．

（1）分别求出AB，BC，AC的长；

（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．

19．（8分）已知一次函数的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由．

20．（8分）某中学初三（1）班、（2）班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩（满分100分）如图所示：

（1）根据上图信息填写下表：

（2）根据两班成绩的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？

（3）如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？请说明理由．

21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；

（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，

①当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是菱形．

22．（10分）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买5kg以上的种子，超过5kg部分的种子价格打8折．

（1）购买3kg种子，需付款　 　元，购买6kg种子，需付款　 　元．

（2）设购买种子xkg，付款金额为y元，写出y与x之间的函数解析式．

（3）张大爷要购买种子5千克，李大爷要购买种子4千克，怎样购买让他们花钱最少？他们各应付款多少元？（结果保留整数）

23．（10分）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，E是CD边上一点（不与点C重合），以CE为边在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，连接BF、BD、FD．

计算：（1）当点E与点D重合时，△BDF的面积为　 　；当点E为CD的中点时，△BDF的面积为　 　．

证明：（2）当E是CD边上任意一点（不与点C重合）时，猜想S△BDF与S正方形ABCD之间的关系，并证明你的猜想；

运用：（3）如图2，设BF与CD相交于点H，若△DFH的面积为，求正方形CEFG的边长．

24．（12分）如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．

①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．

②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年湖北省咸宁市通城县市八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）

1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，

解得，x≥1，

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的意义和性质，概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数．

2．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣2），则正比例函数的解析式为（　　）

A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x

【分析】直接把点（1，﹣2）代入y＝kx，然后求出k即可．

【解答】解：把点（1，﹣2）代入y＝kx得k＝﹣2，

所以正比例函数解析式为y＝﹣2x．

故选：B．

【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把正比例函数图象上一个点的坐标代入求出k即可．

3．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（　　）

A．赵爽 B．祖冲之 C．刘徽 D．杨辉

【分析】在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”．

【解答】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．

故选：A．

【点评】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．

4．（3分）某品牌鞋店在一个月内销售某款女鞋，各种尺码鞋的销量如下表所示：

通过分析上述数据，对鞋店业主的进货最有意义的是（　　）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．

【解答】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．

故选：B．

【点评】考查了众数、平均数、中位数和标准差意义，比较简单．

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、+，无法计算，故此选项不合题意；

B、﹣，无法计算，故此选项不合题意；

C、2×＝2，故此选项不合题意；

D、÷＝2，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

6．（3分）如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（　　）

A． B． C． D．

【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PB＝PC即可求出OC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．

【解答】解：PB＝，

∴PB＝PC，

∴OC＝PC﹣1＝﹣1，

∴点C的数为﹣1，

故选：B．

【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．

7．（3分）下列命题中，为假命题的是（　　）

A．两组邻边分别相等的四边形是菱形

B．对角线互相垂直平行的四边形是菱形

C．四个角相等的四边形是矩形

D．对角线相等的平行四边形是矩形

【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否为真命题，从而可以解答本题．

【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB＝AD，CB＝CD，但AB≠CB的四边形，故选项A中的命题是假命题，故选项A符合题意；

对角线互相垂直平行的四边形是菱形是真命题，故选项B不符合题意；

四个角相等的四边形是矩形是真命题，故选项C不符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故选项D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假．

8．（3分）对于函数y＝3﹣x，下列结论正确的是（　　）

A．y的值随x值的增大而增大

B．它的图象必经过点（﹣1，3）

C．它的图象不经过第三象限

D．当x＞1时，y＜0

【分析】根据一次函数的图象与性质可知正确结论．

【解答】解：A．∵函数y＝3﹣x中，k＝﹣1＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故本选项错误；

B．它的图象必经过点（﹣1，4），不经过（﹣1，3），故本选项错误；

C．它的图象经过第一二四象限，不经过第三象限，故本选项正确；

D．当x＞1时，3﹣y＞1，即y＜2，故本选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系、一次函数的增减性是解答此题的关键．

二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）

9．（3分）计算：＝　3　．

【分析】根据算术平方根概念的性质化简即可求出结果．

【解答】解：＝＝3．

故填3．

【点评】本题主要考查了算术平方根概念的运用，其中利用了．

10．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　甲　．

【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．

【解答】解：∵＝＞＝，

∴从甲和丙中选择一人参加比赛，

∵S甲2＝S乙2＜S丙2＜S丁2，

∴选择甲参赛；

故答案为：甲．

【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．

11．（3分）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）　　．

【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．

【解答】解：∵4＜5＜9，

∴2＜＜3，

即为比2大比3小的无理数．

故答案为．

【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

12．（3分）如图，直线y＝x+1与直线y＝ax+b相交于点A（m，3），则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是　x≤2　．

【分析】首先把A（m，3）代入y＝x+1可得m的值，进而得到A点坐标，然后再利用图象写出不等式的解集即可．

【解答】解：把A（m，3）代入y＝x+1得：m＝2，

则A（2，3），

根据图象可得不等式x+1≤ax+b的解集是x≤2．

故答案为：x≤2．

【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．

13．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长是　20　cm．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3cm，

OB＝BD＝×8＝4cm，

根据勾股定理得，AB＝＝5cm，

所以，这个菱形的周长＝4×5＝20cm．

故答案为：20

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．

14．（3分）观察下列各式：32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，92＝40+41…根据发现的规律得到132＝　84　+　85　．

【分析】认真观察三个数之间的关系可得出规律：（2n+1）2＝+，由此规律解决问题．

【解答】解：由已知等式知，（2n+1）2＝+，

∴132＝+＝84+85，

故答案为：84、85．

【点评】本题考查了勾股定理的知识及数字的规律变化，解答本题的关键是仔细观察所给式子，要求同学们能有一般得出特殊规律．

15．（3分）某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费y（元）是用水x（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为　30　立方米．

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得当x＞18时对应的函数解析式，根据102＞54可知，小丽家用水量超过18立方米，从而可以解答本题．

【解答】解：设当x＞18时的函数解析式为y＝kx+b，

，得，

即当x＞18时的函数解析式为y＝4x﹣18，

∵102＞54，

∴当y＝102时，102＝4x﹣18，得x＝30，

故答案为：30．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的边长为8，∠AOB＝60°．点D是边OB上一动点，点E在BC上，且∠DAE＝60°．有下列结论：

①点C的坐标为（12，）；

②BD＝CE；

③四边形ADBE的面积为定值；

④当D为OB的中点时，△DBE的面积最小．

其中正确的有　①②③　．（把你认为正确结论的序号都填上）

【分析】①过点C作CF⊥OB，垂足为点F，求出BF＝4，CF＝4，则C（12，4），故①正确；②连结AB，证明△ADB≌△AEC，则BD＝EC，故②正确；③由S△ADB＝S△AEC，可得S△ABC＝S△四边形ADBE＝＝16；④可证△ADE为等边三角形，当D为OB的中点时，AD⊥OB，此时AD最小，则S△ADE最小，由③知S四边形ADBE为定值，可得S△DBE最大．

【解答】解：①过点C作CF⊥OB，垂足为点F，

∵四边形AOBC为菱形，

∴OB＝BC＝8，∠AOB＝∠CBF＝60°，

∴BF＝4，CF＝4，

∴C（12，4），故①正确；

②连结AB，

∵BC＝AC，∠C＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵∠DAE＝60°，

∴∠DAB＝∠EAC，

∵∠ABD＝∠ACE＝60°，

∴△ADB≌△AEC（ASA），

∴BD＝EC，故②正确；

③∵△ADB≌△AEC．

∴S△ADB＝S△AEC，

∴S△ABC＝S△四边形ADBE＝＝16；

故③正确，

④∵△ADB≌△AEC，

∴AD＝AE，

∴ADE为等边三角形，

当D为OB的中点时，AD⊥OB，

此时AD最小，则S△ADE最小，

由③知S四边形ADBE为定值，可得S△DBE最大．

故④不正确；

故答案为：①②③．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键．

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）

17．（8分）计算：

（1），

（2）（）（）．

【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；

（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：（1）原式＝

＝；

（2）原式＝

＝．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

18．（8分）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．

（1）分别求出AB，BC，AC的长；

（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理求出边的长度即可；

（2）根据勾股定理的逆定理判断即可．

【解答】解：（1），，；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

∵，AC2＝52＝25，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形．

【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．

19．（8分）已知一次函数的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由．

【分析】（1）首先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法把（3，5）与（﹣4，﹣9）代入y＝kx+b，求出一次函数的解析式，

（2）把A（2，3）代入函数关系式，如果能满足关系式，则此点就在函数图象上．

【解答】解：（1）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b．

∵y＝kx+b的图象过点（3，5）与（﹣4，﹣9），

∴

解得

所以一次函数解析式为y＝2x﹣1．

（2）当x＝2时，y＝2x﹣1＝2×2﹣1＝3，

∴点A（2，3）在这个函数的图象上．

【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．

20．（8分）某中学初三（1）班、（2）班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩（满分100分）如图所示：

（1）根据上图信息填写下表：

（2）根据两班成绩的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？

（3）如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？请说明理由．

【分析】（1）根据中位数和众数的定义填空．

（2）根据平均数和中位数比较两个班的成绩．

（3）把两个班的平均数，众数与中位数结合起来分析，得出结果．

【解答】解：（1）中位数填85，众数填100．

（2）因为两班的平均数都相同，但初三（1）班的中位数高，所以初三（1）班的成绩较好．

（3）如果每个班各选2名同学参加决赛，我认为初三（2）班实力更强些．

因为，虽然两班的平均数相同，但在前两名的高分区中初三（2）班的成绩为100分，而初三（1）班的成绩为100分和85分．

【点评】本题考查了运用平均数，中位数与众数解决实际问题的能力．

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

21．（8分）如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；

（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，

①当AE＝　7　cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE＝　4　cm时，四边形CEDF是菱形．

【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；

②求出△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，根据菱形的判定推出即可．

【解答】（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CF∥ED，

∴∠FCD＝∠GCD，

∵G是CD的中点，

∴CG＝DG，

在△FCG和△EDG中，

∴△CFG≌△EDG（ASA），

∴FG＝EG，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，

理由是：过A作AM⊥BC于M，

∵∠B＝60°，AB＝6，

∴BM＝3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，

∵AE＝7，

∴DE＝3＝BM，

在△MBA和△EDC中，，

∴△MBA≌△EDC（SAS），

∴∠CED＝∠AMB＝90°，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是矩形，

故答案为：7；

②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，

理由是：∵AD＝10，AE＝4，

∴DE＝6，

∵CD＝6，∠CDE＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE＝DE，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是菱形，

故答案为：4．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

22．（10分）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买5kg以上的种子，超过5kg部分的种子价格打8折．

（1）购买3kg种子，需付款　15　元，购买6kg种子，需付款　29　元．

（2）设购买种子xkg，付款金额为y元，写出y与x之间的函数解析式．

（3）张大爷要购买种子5千克，李大爷要购买种子4千克，怎样购买让他们花钱最少？他们各应付款多少元？（结果保留整数）

【分析】（1）根据题意，可以分别计算出购买3kg和购买6kg种子需要付款的金额；

（2）根据题意，可以分别写出0≤x≤5和x＞5时对应的函数解析式；

（3）根据题意，可知张大爷和李大爷一起购买花钱最少，然后算出他们需要付款的金额即可．

【解答】解：（1）由题意可得，

购买3kg种子需要付款：5×3＝15（元），

购买6kg种子需要付款：5×5+（6﹣5）×5×0.8＝29（元），

故答案为：15，29；

（2）由题意可得，

当0≤x≤5时，y＝5x，

当x＞5时，y＝5×5+5×0.8（x﹣5）＝4x+5，

由上可得，y＝；

（3）由题意可知，

张大爷和李大爷一起购买花钱最少，

将x＝5+4＝9代入y＝4x+5，得y＝4×9+5＝41，

此时张大爷需要付款：41×≈23（元），

李大爷需付款：41×≈18（元），

答：张大爷和李大爷一起购买花钱最少，张大爷应付款23元，李大爷应付款18 元．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

23．（10分）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，E是CD边上一点（不与点C重合），以CE为边在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，连接BF、BD、FD．

计算：（1）当点E与点D重合时，△BDF的面积为　18　；当点E为CD的中点时，△BDF的面积为　18　．

证明：（2）当E是CD边上任意一点（不与点C重合）时，猜想S△BDF与S正方形ABCD之间的关系，并证明你的猜想；

运用：（3）如图2，设BF与CD相交于点H，若△DFH的面积为，求正方形CEFG的边长．

【分析】计算：（1）由三角形的面积公式解；

证明：（2）连接CF，通过证明BD∥CF，可得S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD；

运用：（3）由三角形面积公式可求DH的长，再由三角形面积公式可求EF的长，即可求解．

【解答】解：计算：（1）∵当点E与点D重合时，

∴CE＝CD＝6，

∵四边形ABCD，四边形CEFG是正方形，

∴DF＝CE＝AD＝AB＝6，

∴S△BDF＝×DF×AB＝18，

如图，连接CF，

∵四边形ABCD

和四边形CEFG均为正方形；

∴∠CBD＝∠GCF＝45°，

∴BD∥CF，

∴S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD＝×36＝18，

故答案为：18，18；

证明：（2）S△BDF＝S正方形ABCD，

理由：连接CF．

∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，

∴∠CBD＝∠GCF＝45°，

∴BD∥CF，

∴S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD；

运用：（3）如图2，

∵S△BDF＝S正方形ABCD＝×36＝18，且S△BDF＝S△BDH+S△DFH，

∴S△BDH＝18﹣＝，

∴×DH×6＝，

∴DH＝，

∴S△BDH＝××EF＝，

∴EF＝4

∴正方形CEFG的边长为4．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积公式，平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

24．（12分）如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．

①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．

②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A、B的坐标；然后把B点坐标代入y＝﹣2x+b求出b的值，确定此函数解析式，然后再求C点坐标；

（2）①根据轴对称﹣最短路径问题求得点E的位置，由待定系数法确定直线DB1的解析式为y＝﹣3x﹣4，易得点E的坐标；

②存在．分两种情况：当点D在AB上时，当点D在BC上时．当点D在AB上时，不难得∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；

当点D在BC上时，设AD交y轴于点F．证△AOF与△BOC全等，得OF＝2，点F的坐标为（0，2），求得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组，求得交点D的坐标为（，）．

【解答】解：（1）在y＝x+4中，

令x＝0，得y＝4，

令y＝0，得x＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，4）．

把B（0，4）代入y＝﹣2x+b，

得b＝4

∴直线BC为：y＝﹣2x+4．

在y＝﹣2x+4中，

令y＝0，得x＝2，

∴C点的坐标为（2，0）；

（2）①如图

∵点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．

∴D（﹣2，2）．

点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．

设直线D B1的解析式为y＝kx+b．

把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入，得．

解得k＝﹣3，b＝﹣4．

故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．

令y＝0，得E点的坐标为（，0）．

②存在，D点的坐标为（﹣1，3）或（，）．

附：当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；

当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．

在△AOF与△BOC中，

∴△AOF≌△BOC（ASA）．

∴OF＝OC＝2，

∴点F的坐标为（0，2），

易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组，

解得．

∴交点D的坐标为（，）．

【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决问题．