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第一章n阶行列式
在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式,并且利用它们来解二元、三元线性方程组.为了研究n元线性方程组,需要把行列式推广到n阶,即讨论n阶行列式的问题.为此,下面先介绍全排列等知识,然后引出n阶行列式的概念.
§1全排列及其逆序数
先看一个例子.
引例用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?
解这个问题相当于说,把三个数字分别放在百位、十位与个位上,有几种不同的放法?
显然,百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个,所以有3种放法;十位上只能从剩下的两个数字中选一个,所以有两种放法;个位上只能放最后剩下的一个数字,所以只有1种放法.因此,共有3216种放法.
这六个不同的三位数是:
123,132,213,231,312,321.在数学中,把考察的对象,如上例中的数字1、2、3叫做元素.上述问题就是:把3个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法?
对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题:把n个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法?
把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列,简称排列.
n个不同元素的所有排列的种数,通常用Pn表示.有引例的结果可知P3=3.2.1=6.
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为了得出计算Pn的公式,可以仿照引例进行讨论:
从n个元素中任取一个放在第一个位置上,有n种取法;又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上,有n-1种取法;
这样继续下去,直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上,只有1种取法.于是
Pn=n.(n-1).….3.2.1=n!.
对于n个不同的元素,我们规定各元素之间有一个标准次序(例如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.
不失一般性,不妨设n个元素为1至n这n