高中重要解题方法——分离变量法

分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.

分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.

解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围，求的范围：

定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大值）.

定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）.

定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）.

解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.

再现性题组：

1、 已知当xR时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

2.若f(x)=在上有恒成立，求a的取值范围。

3,、若f(x)=在上有恒成立，求a的取值范围。

4、若方程有解，请求a的取值范围。

答案：

1、 解：原不等式

当xR时，不等式，设则

∴

2、解：恒成立，即在上恒成立,

只需，解得

3、解：在上恒成立

在上恒成立

4、解:令 (t>0)，则

【例题】

例1. 已知函数,且恒成立,求的取值范围.

【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组恒成立 在上的最大值与最小值 以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性.正确率较低.

法二(分离变量):问题转化为在上恒成立(除时注意符号), 由定理1得.求相应函数最值,正确率较高.

例2.已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求的取值范围.

【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.

方法二(分离变量):问题转化为在上恒有解 分离变量得,有解 由定理1.3得只需求函数在上的值域即可, 单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.

通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。

【练习】

1、 已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。

2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。

3、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。

4、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。

练习答案：

1、解：根据题意得：在上恒成立，

即：在上恒成立，

设，则

当时， 所以

2、解：令， 所以原不等式可化为：，

要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。

3、解：如果时，恒有意义，对恒成立.

恒成立。令，

又则对恒成立，

又在上为减函数，，。

4、解：是增函数对于任意恒成立

对于任意恒成立

对于任意恒成立，

令，，所以原问题，

又即

易求得。