概率计算方法全攻略

在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:

一.公式法

P(随机事件)=.其中P(必然事件)=1,P（不可能事件）=0；0随机事件)<1.

例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．

解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=.

说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算.

二.面积法

例2 如图2是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.

解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=.

评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积.

三.树形图法

例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为.

（1）试求袋中蓝球的个数.

（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.

解析：⑴设蓝球个数为x个 .

由题意得 ∴x=1

答：蓝球有1个

（2）树状图如下：

∴　 两次摸到都是白球的概率 =.

说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果.

四.列表法

例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．

（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？

（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．

解析:(1)所求概率是

(2)解法一(树形图):

共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是

解法二(列表法):

共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是

评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有效.

概率计算

　　一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？

　　4面体将由4面变成8面；由4个顶点变成12个顶点；由6条棱变成18条棱。

　　6面体将由6面变成14面；由8个顶点变成32个顶点；由12条棱变成36条棱。

　　面：20+12=32

　　顶点12变12×3=36

　　棱：30变12×3+30=66

　　上面的计算方法不对吧，参考以下计算：

　　每截去一个顶角（顶角数量=顶点数量），增加一个面；

　　一个20面体截去所有顶角（顶角数量=顶点数量），即增加36个面；

　　全概率公式

　　即例已如某事件A是有B,C,D三种因素造成的，求这一事件发生的概率

　　p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)

　　其中p(A/B)叫条件概率，即：在B发生的情况下，A发生的概率

　　柏努力公式

　　是用以求某事件已经发生，求其是哪种因素的概率造成的

　　好以上例中已知A事件发生了，用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大，C因素，D因素同样也求．

　　古典概型 P（A）=A包含的基本事件数/基本事件总数

　　几何概型 P(A)=A面积/总的面积

　　条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数

　　相对独立事件 P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A发生与事件B的发生没有关系

　　独立重复事件 P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

概率计算

二. 重点、难点：

1. 古典概型    ∴

2. A、B互斥，则

3. A的对立事件，

4. A、B独立，则

【典型例题】

[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。

[例2] 4封不同的信，随机投入3个信箱，试求三个信箱均不空的概率。

[例3] 某袋中有大小相同的红球2个，白球4个。

（1）甲每次取一个不放回，恰在第k次取得红球的概率。

（2）甲一次取两个同色的概率。

（3）甲每次取一个不放回，在第三次首次取到红球的概率。

[例4] 从52张扑克牌中任取5张。

（1）5张同花的概率；

（2）5张顺子的概率；

（3）5张同花顺的概率；

（4）5张中有四张点数相同的概率；

（5）5张中有花色齐全的概率。

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

[例5] （1）掷一枚骰子三次之和为10的概率。

解：有序，所有可能

满足条件

∴

∴

（2）掷三枚骰子，三枚骰子之和为10的概率。

  同上

[例6] 10个外表相同的小球，其中8个为a克，2个为b克，现从10球中取3个放在一端，再从余下的7个中取3个放在另一端，则天平平衡的概率是多少？

解：总数

平衡：①       ②   

∴

[例7] 有三个电器件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，将其中某两个并联后再与第三个串联，求使电路不发生故障的概率最大值。

A. T1T2并联   B. T2T3并联    C. T1T3并联

∴

∴ T1T2并联，再与T3串联，不发生故障概率最大。

[例8] 某射击手，射击一次击中目标的概率为0.8，他连续射击三次。

（1）全部击中的概率

（2）击中目标的概率

（3）恰有一次击中目标的概率

解：三次射击击中的事件依次为A1、A2、A3

（1）

（2）均不击中

（3）

[例9] 如图所示，为某电路图方框内数字表示该处元件烧断的概率，假设各元件正常工作，相互独立，求接入电路后，电路导通的概率。

∴

[例10] 设甲、乙、丙三人射击目标击中的概率分别为0.7，0.6，0.5，三人各向目标射击一次。

（1）至少有1人命中的概率；

（2）恰有2人命中的概率。

解：

（1）

（2）

[例11] 一汽车前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯的概率为，假定汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止。求停车时最多已通过3个路口的概率。

解：

[例12] 现有个可靠度为P（）的电子元件其接入方式如图

试判断哪一种更可靠

解：

令， ∴

∴ 方式更可靠

【模拟试题】

1. 从数字1，2，3，4，5中随机抽取3个数（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和为9的概率是（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 从1，2，……9过九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数和为偶数的概率是（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（    ）

    A.     B.     C.     D.

5. 某班委会由4名男生与3名女生组成现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一名女生当选的概率是（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 口袋内装有10个相同的球，其中5个标有0，5个标有1，若从换出5个球，五个球数字之和小于2或大于3的概率是（    ）

A. ，         B. ，    C. ，    D. ，

7. 从1、2、3……9中任取2数。

（1）均为奇数的概率？

（2）和为偶数的概率？

（3）积为偶数的概率？

8. a、b、c，任取满足条件的一组a、b、c，恰成等差数列的概率是多少？

9. 甲、乙进行乒乓球比赛，已知每局甲获胜概率为0.6，乙获胜概率为0.4，比赛可采用三局二胜制，或五局三胜制。试问哪一种制度下，甲获胜的可能性大。

概率计算公式

罐中有12粒围棋子，其中8粒白子，4粒黑子，从中任取3粒，求取到的都是白子的概率是多少？

12粒围棋子从中任取3粒的总数是C(12,3)



取到3粒的都是白子的情况是C(8,3)



∴概率

     C(8,3)

P=——————=14/55

      C(12,3)





附：排列、组合公式





排列：从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。

排列数：从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Anm

排列公式：A(n,m)=n*(n-1)*.....(n-m+1)

          A(n,m)=n!/(n-m)!

组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。

组合数：从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm

组合公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!*(n-m)!)

          C(n,m)=C(n,n-m)

                             生活中的实例

　　普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：

　　1. 六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。

　　2. 生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50％。

　　3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是 18/37。

　　4. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。

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　　用条件概率和全概率公式吧

　　考虑选择更换的情况

　　设A1表示第一次抽到羊的概率

　　A2 车

　　B1 最终 羊

　　B2 车

　　P(A1)=2/3 P(A2)=1/3

　　P(B2|A1)=1

　　P(B2|A2)=0

　　所以

　　P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=2/3

　　P(B1)=1/3

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　　TANKTANK98 修正：这里的几率是指什么几率？

　　我认为，这个问题使得很多人迷糊了，其实这里存在2个几率：

　　1.整个开门事件来说，包括从一开始来说，参赛者的几率由1/3提高到了2/3，因为有3张门，分别是参赛者选中的（有1/3）

　　另外2张（各1/3），后来主持人确定一个门没有车，这样使得剩下的2张门有车的总几率提升到了100%，而原来这2张门的总几率是66%，多出的33%分到了谁头上？

　　2.就参赛者从剩下的2张门里面选一个的时候，他得到车子的几率是50%。

　　几率的对象必须分清楚！是2张门选1张时候的几率还是从头至尾的几率，的确会迷糊人。

　　毅U味尽:

　　..."如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。" 这种说法。几率永远都是50%。

　　......，后验概率会使得下一次反面的几率大的多。

　　哈尔威：正如《决胜21点》的男主角所说的“我一定换，因为那是主持人送给我的概率” 事实原因就在这里选手选择是随机的（33%的机会为车，66%的机会为羊），但是主持人确要在他选到羊的时候（66%）一定要选择剩余的那只羊！当然这种情况下换的结果只能是“车”。那么玩家有在始终选择换的情况下他只在自己选中车的时候（33%）才会选到羊。此时你在游戏获得车的机会提高了一倍（33%到66%）所以聪明的你如果去参加这个游戏你会选择换还是不换呢？我想现在你心里已经有答案了。

　　后退思维者，关于三门问题：这是个有前提条件的问题，大家被严重的思维混淆了

　　1、结果：换门，赢取汽车的概率为2/3，不换门，赢取汽车的概念为1/3 （成立）

　　前提：同一个人玩同一个游戏3次以上，那么每次选择换门的话，赢取汽车的概率为2/3

　　2、结果：换门与不换门赢取汽车的概率均为1/2 （成立）

　　前提：同一个人只有一次机会玩同一个游戏，那么在主持人确定一扇门后，他换与不换的概率就是1/2.

　　2/3和1/2的结果问题就是根本不是同一类别，是概率两大类别，所谓的2/3概率是相对一个空间，在100次的机会中，你将会有2/3的机会赢取。1/2概率是在限定的情况下，发生的概率，所以是不同的。