广东高州中学2016--2017学年度第一学期期中考试

高二数学试题（理科）

考试时间：120分 总分：150分

1．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

2.给出以下四个命题： ①若a>b，则<；②若ac2>bc2，则a>b③若a>|b|，则a>b；④若a>b，则a2>b2.其中正确的是(　　)

A．②④　　　 B.①③ C．①② D．②③

3. 数列是等差数列，，，则该数列的前10项和为（ ）

A.64 B.100 C.110 D.120

4. 设变量x,y满足，则的最大值和最小值分别为（ ）

A.1，-1 B.2，-1 C.1，-2 D.2，-2

5.在△ABC中, 角A,B,C的对边分别是a,b,c,若成等比数列，且， 则（ ）

A. B. C. D.

6. 等比数列的前项和为，且成等差数列，若则（ ）

A.7 B.8 C.15 D.16

7. 已知， ，.若，则的值为( )

A. B. C. D.

8. 函数的图象大致为（ ）

A. B． C． D

9. 设x>0 ,y>0 ,A、B、P三点共线且向量(　　)

A．4 B．2 C．9 D.10

10．函数在区间上是增函数，且，则( )

A.0 B. C. D.1

11．若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围为( )

A. B.[-4,8] C.[-6,2] D.[-2,6]

12. 已知函数，则（ ）

A .-100 B .0 C . 100 D. 10200

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上。

13.已知，，则

14.已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是__________

15.在区间内随机取两个数，则关于的一元二次方程有实数根的概率为

16. 如右下图示：半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一

点，以AB为一边作等边三角形ABC.则四边形OACB的面积最大值是

三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本题满分10分）.如图，甲、乙两位同学要测量河对岸两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的两点，测得 60°，=45°, 30°,∠CDB=求两点间的距离.

18. (本题满分12分)随机抽取一个年份，对广州市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

(1)在4月份任取一天，估计广州市在该天的天气是晴天的概率；

(2)广州市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不

下雨的概率．

19． (本题满分12分)设数列的前项和为，设是与2的等差中项, 数列中，

，点在直线上.

（Ⅰ） 求；

（Ⅱ） 若数列的前项和为，比较与1的大小．

21.(本题满分12分)设是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且

, .

(1)求数列，的通项公式.

(2)设数列的前项和为，求数列前项和.

22.（本题满分12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．

(1)若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；

(2)在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存

在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；

(3)若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]有两

个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．

广东高州中学2016--2017学年度第一学期期中考试

高二数学试题答案（理科）

1．选择题：ADBDB CBACDAA

2．填空题: 14.　

16.2＋。提示:设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得

AB2＝12＋22－2×1×2cos¦Á＝5－4cos¦Á，于是，四边形OACB的面积为

S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OBsin¦Á＋AB2

＝¡Á2×1×sin¦Á＋(5－4cos¦Á)＝sin¦Á－cos¦Á＋＝2sin(α－)＋

∵0＜¦Á＜¦Ð，

∴当¦Á－＝，¦Á＝¦Ð，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大为2＋.

17.解：在中 ∠BCD=,∠CDB=,则—-------1分

CB==40 ————-----------2分

在中，------------3分

由正弦定理得： ———-5分

在中，有余弦定理得：

-----------8分

即A、B两点间的距离为. ---------------10分

18.解：(1)在容量为30的样本中，晴天的天数是16，（2分）以频率估计概率，（3分）4月份任选一天，广州市天气为晴天的概率为P＝＝.--------------6分

(2)称相邻的两个日期为¡°互邻日期对(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，

前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，（8分）所以晴天的次日不下雨的频率为，（10分）以频率估计概率，（11分）运动会期间不下雨的概率为.--------12分

19.解：（1）由题意得，即，所以-----------1分

因为，所以，即，-------3分

所以数列是以2为公比、首项的等比数列，即-------4分

因为点在直线上，所以，即，-------5分

所以数列是以2为公差、首项的等差数列，即 ---------6分

（2），---------------------------------------7分

所以---------------------------------------8分

所以…12分

21.解：（1）设数列的公比为数列的公差为，

依题意得：----------1分

得——2分

∵ ∴，将代入得--------------4分

∴----------------------------------------------------5分

（2）由（1）可知-------------------------6分

题意得

---7分

令 ①

则 ②

①-②得：-------------------------8分

∴-------------------------------10分

又，------------------------------11分

∴-----------------------------------------12分

22.解：（1）因为f（1）=0，

所以a+b+c=0，--------------------------------------1分

又因为a＞b＞c，

所以a＞0，且c＜0，

因此ac＜0，----------------------------------------2分

所以△=b2﹣4ac＞0，

因此f（x）的图象与x轴有2个交点．-----------------3分

（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，

因为f（1）=0，

所以f（x）=0的一根为x1=1，

因为x1+x2=﹣，x1x2=，

所以x2=﹣﹣1=，-------------------------------------4分

因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，

所以﹣2＜x2＜0．--------------------------------5分

因为要求f（m）=﹣a＜0，

所以m∈（x1，x2），

因此m∈（﹣2，1），

则m+3＞1，--------------------------------------6分

因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；

所以f（m+3）＞f（1）=0成立．--------------------7分

（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，----8分

则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，

g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，-----9分

于是g（x1）g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]

=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2，----------------------------------10分

因为f（x1）≠f（x2），

所以g（x1）g（x2）=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2＜0，--------------11分

所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，

即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．-----12分