福建省福州市2016届高三数学下学期第二次综合质量检测试题 文（扫描版）

2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测

文科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）C （2）B （3）C （4）A （5）A （6）B

（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）D

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13） （14） （15） （16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

（Ⅰ）证明：因为当时，，

所以． 1分

所以, 2分

因为所以，所以， 3分

所以． 4分

所以是以为首项，以1为公差的等差数列． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

所以. 8分

所以． 10分

所以 11分

． 12分

（18）本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：

3分

假设喜欢娱乐节目A与观众性别无关，

则的观测值， 5分

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关．

6分

（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为，不喜欢节目A的人数为． 7分

被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为；不喜欢节目A的1名记为．

则从5名中任选2人的所有可能的结果为： ，共有10种．
9分

其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有，共4种．
10分

所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：． 12分

（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．

因为点是中点，

所以且． 1分

又因为且，

所以且， 2分

所以四边形为平行四边形，

所以， 3分

因为平面，平面，

所以． 4分

所以． 5分

（Ⅱ）解：设点为的中点，连结，如图所示，

因为，

由（Ⅰ）知， 6分

又因为，所以，

所以 7分

所以为正三角形， 8分

所以，且． 9分

因为平面，，

所以平面． 10分

因为平面，

所以， 11分

又因为，所以平面．

所以三棱锥的高为． 12分

（20）本小题考查点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.满分12分．

解法一：（Ⅰ）依题意得，， 2分

所以， 3分

所以的方程为． 4分

（Ⅱ）点在外．理由如下： 5分

设，

由得， 6分

所以，，

所以，. 8分

因为，

所以，

10分

．

因为，所以．

所以点在外． 12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）点在外．理由如下： 5分

设，

由得， 6分

所以，，

所以，. 8分

所以，

所以圆心坐标为，

， 9分

所以的方程为． 10分

因为， 11分

所以点在外． 12分

（21）本小题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．

解：（Ⅰ），依题意，设切点为， 1分

则即

解得 3分

所以，

所以，当时，；当时，．

所以，的单调递减区间为，单调递增区间为． 5分

（Ⅱ）令，

则，

令，则， 7分

（ⅰ）若，

因为当时，，所以，

所以即在上单调递增．

又因为，所以当时，，

从而在上单调递增，

而，所以，即成立． 9分

（ⅱ）若，

令，解得，

当，，所以即在上单调递减，

又因为，所以当时，，

从而在上单调递减，

而，所以当时，，即不成立．

综上所述，的取值范围是． 12分

请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

（22）选修：几何证明选讲

本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．

解：（Ⅰ）设外接圆的圆心为，连结并延长交圆于点，连结，

则,．

因为平分∠，所以，所以， 2分

所以，

所以，所以是外接圆的切线． 5分

（Ⅱ）连接，则，所以是圆的直径，

因为，，

所以． 7分

因为平分∠，所以∽,

所以，所以,

因为，所以∽，从而，

所以，

所以． 10分

（23）选修；坐标系与参数方程

本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．

解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，

即， 2分
将代入，得， 4分

所以的极坐标方程为． 5分
（Ⅱ）将代入得，

所以的方程为． 7分

的极坐标方程为，所以．

又，

所以． 10分

（24）选修：不等式选讲

本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．

解：（Ⅰ）由得，

或 2分

解得．

依题意． 5分

（Ⅱ）因为，

当且仅当时取等号， 7分

因为关于的方程（）有实数根，

所以． 8分

另一方面，，

所以， 9分

所以或． 10分