河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考

理科数学

本试卷4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数a3bc1eca88e770b3204f00577cf64f9c.png在复平面内对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知全集word/media/image3.wmf，ec0387ee11fb9e5cbf362373a5cb3c06.png，则

A.a5786fca61479bed861491ff5b38a5c0.png B.a122e5939899846ff4d2d3dfcea847ab.png

C.24de400f1d24bb3ffe6d5975e4b945d6.png D.9057d8d95667092e927cc6c9bc75baa3.png

3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：

2015年高考数据统计 2018年高考数据统计

则下列结论正确的是

A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少

B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍

C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同

D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加

4.已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为2，前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，且d616929842e0ca5fae2089af1176f567.png，则730e2b1b2b6e4eceaff32007ae7ffb02.png的值为

A.11 B.12 C.13 D.14

5.已知ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的奇函数，若887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，4841c88a8221a2d74905c65b2f0a9790.png，则97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，fab41c1ab5f217e669a1443b990569b8.png

A.9fbe2ec76ff7a3f0ccb011c87218d8aa.png B.168944b1f74e9544ad62d98082d8845d.png C.053d44b1765d69f727e1389abc376b79.png D.1077ef3e21d2d1023df5374d5b24707b.png

6.已知椭圆449578967f60db3aa3ece6d138024240.png和直线a104e08ec2c808071791d3351dcab5f7.png，若过0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的离心率为

A.27abf3c3c0ceec6fce6416dc3fcf1951.png B.463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png C.9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png D.22417f146ced89939510e270d4201b28.png

7.如图，在平行四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png中，对角线4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png与87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png交于点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，且8ceb9f267ff2eb29f9e73a9680ec2726.png，则796f45aedec7c8bcd0b0305bea5e494c.png

A.f948fa624ce020c198d08c629ded8092.png B.83c72ef47d9f98576650020fc8fec24d.png

C.33fd77ad13079026ce75110a87454e9e.png D.ba4d474073b7091036fbbfe07cb0bb2e.png

8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体

A.有四个两两全等的面

B.有两对相互全等的面

C.只有一对相互全等的面

D.所有面均不全等

9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设06496677ff5bd6726ac82e6bc423f6b5.png，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是

A.7187e637fd3fdc19b931e3612a243426.png B.eeda90b5ff88436ed6a22fef70c238a3.png C.40ee1f9bf73cbefe662de3c2d0a5f5b6.png D.a8b1573087e2a3cf2c69e7442978f93f.png

10.已知函数101fa2cbda6ad8b08ba402ec5734d409.png（e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png为自然对数的底数），若关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程8529c8ae915b5ab64f848e5dd03cbc53.png有两个不相等的实根，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是

A.90cb11dd074d266594ff311898c3a03f.png B.f207aade4ecf6e4421f694d6bec63f34.png C.ac52757b7547170a388abff164f2796b.png D.9b30fdf9a09acbb5d41e727cbd07569c.png

11.已知双曲线2fd20d35df801b1834efd73a88ee9ef7.png的左、右焦点分别为39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png，162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png，过39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png作圆5e7ded6b3a54ab3a99b931185210e0fc.png的切线，交双曲线右支于点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，若2ce4a90efd3b18479e7370e6ed430098.png，则双曲线的渐近线方程为

A.130d085a15634055fff93f12b81433a8.png B.fa1a4f2e9771a00ad30da73c87d99f8e.png C.b4706378698ae854a261d2ad415b2d98.png D.4c171b56ee2e601701c51e97dac9e4b2.png

12.如图，在正方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png分别为棱94c82f367723e9b2d59baad49af43606.png，86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png的中点，点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为上底面的中心，过3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png三点的平面把正方体分为两部分，其中含e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebad.png的部分为15df402d99d5ae494c0eec6b149b3dd9.png，不含e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebad.png的部分为4925ee5356b4ace0e28f0324cf3a81de.png，连结e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebad.png和4925ee5356b4ace0e28f0324cf3a81de.png的任一点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，设d4b5d615eb77ee42cb46614c739a42aa.png与平面703fe088346610133e7e81ef6d0350ee.png所成角为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，则5f84850ea089555ebb38465b4e5fbf79.png的最大值为

A.a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png B.6a6f9d220af34df75ca26ecb8d23f3b0.png

C.e49db0525dcb8af38d16b80c5418c6a1.png D.7f17fe68b9c39ca712531c140e1160ee.png

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png满足约束条件224ee592050c94bbbc0e0321b134bf78.png，则7fff789024649743e7be6ffd40edb218.png的最小值为________.

14.已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，若数列0b084399bac49c8bc1e0035d5b3d54d9.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和619109e701d8d5fe3b72d0c748214918.png，则2cd2e15f726fd0f7061a922e3e1c37d5.png的值为________.

15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.

16已知函数4e7840f4a21cf9b2d35bdb0852123358.png的图像关于直线566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png对称，当ec5d8c79f505385ba89e875b118f25c9.png时，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的最大值为____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）

如图，在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png边上的一点，f868ee4813000da07d2b0ecba9d241c8.png，c1a3b5940aab7ad3f929547ec8dd66b6.png，f31ceb70c3a0675666e9fc94e5483249.png.

（1）求96d4cdff8ed57e93e3b3d843cffe3af7.png的长；

（2）若1b11c52c5c025ac9379f84b600a0e659.png，求35eceea8ae7c6832cf74d2a9a730680e.png的值.

18.（12分）

在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png分别为b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png，4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的中点，c2d6f0176a98a3c0e4bb7702d994c899.png，如图1.以3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png为折痕将ab1cc577a6884741e23df170aa758a13.png折起，使点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png到达点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的位置，如图2.

（1）证明：平面73e1fb19e60284e316c74bb6ba57340c.png平面7ee085f97e63e0e2b1b105dee1341886.png；

（2）若平面36757735595805371470a0a0d7f379e3.png平面8ca0e261ad78b20620b50e616b8bd024.png，求直线e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png与平面870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31c.png所成角的正弦值。

如图1 如图2

19.（12分）

某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png在573cf3909bce14b184967821a02cffc4.png内，且其频率415290769594460e2e485922904f345d.png满足a99688aa34728415442f80d231058ecf.png（其中672c30020d002a29ba3416b4236f98ed.png，f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png）.

（1）求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值；

（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.

20.(12分）

已知抛物线e150c122f680932d0d9ea366eb4ce488.png的焦点为800618943025315f869e4e1f09471012.png，2f45443fd49e5276f4e3529b89e0038a.png是3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png上一点，且7f3c63544231ad474710a2a3c3c2f3f4.png.

（1）求3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png的方程；

（2）设点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png是上异于点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的一点，直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png与直线c056f19f4acbc3fec6f220dab7f1bc48.png交于点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，过点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png作9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的垂线交3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png于点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，证明：直线5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png过定点.

21.(12分）

已知函数e0971fdee01fb2c92d648e21a66bf902.png.

（1）当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，求证：76894d6926db708669ea5d4321d99928.png；

（2）讨论函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的零点的个数。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为极点，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的极坐标方程为5d2eb10974f5f438905d085726f3f5c6.png；直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的参数方程为13c52a3c5eed78f4bd75f6068c985261.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数），直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png分别交于69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点.

（1）写出曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的直角坐标方程和直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的普通方程；

（2）若点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的极坐标为cbd42b0ccf8b9d671b081c086f47177e.png，adda1ea49faf8dd0b231e225ed323eae.png，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数04c87f435e36a6822745b84f1ae1eb39.png.

（1）求不等式06b2a38e67ceb43f89010918f9f49713.png的解集；

（2）若函数f69f0cb61516eb8e964ee81d44a53e1f.png的值域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围.

参考答案及解析

河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考·理科数学

一、选择题

1.D【解析】复数88f92ee1ecc9b87787d4aef70d654aa7.png.对应的点为e6fe349d79f5aaa202ed6e28ddaa61a0.png，位于第四象限.故选D.

2.C【解析】由ec0387ee11fb9e5cbf362373a5cb3c06.png，得a585bfa7a78f667c18fbd9507daead92.png，解得26eb281fe75cfa0c687fac47d8242667.png.所以e1e052a6fa4cf16aec499ee65bbf7c60.png或.故选C.

3.D【解析】设2015年该校参加高考的人数为5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png，则2018年该校参加高考的人数为dda46f7d8b9a8db912f8461c50082aa8.png.对于选项A.2015年一本达线人数为0d874edbba6c7a4d64f2117c1ab4a13a.png.2018年一本达线人数为d536a9e0d70d2c5352a66cd3d9021b09.png，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为3771f6b55974e2e6517f31b299d968e7.png，2018年二本达线人数为0c074a7015e5681906978d836b37c84a.png，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为3771f6b55974e2e6517f31b299d968e7.png.2018年不上线人数为9f900027684fe7672100b81b638309a7.png.不达线人数有所增加.故选D.

4.C【解析】由d616929842e0ca5fae2089af1176f567.png及公差为2.得ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png.所以e5ce37a04469a4adc6a46e83c1e1f388.png，故ac4204c0d0ba78bb72042704db48ff10.png.故选C.

5.B【解析】设97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png，则bf122a6ded6d25c2aeb98681f7f6723d.png，所以1143078d29c0a729c49e7d8dd6583cb0.png.又因为ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的奇函数，所以5147546e2e467f27e7f772f4b5c4b609.png，所以02f78e5eb1da08d5625ed999146c89a1.png.故选B.

6.A【解析】直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率为e5ebd788dbb2252020101c55da638a66.png，所以db0657787688b4bea053aac67c97c045.png，又05e865eb1b3c33eb86dacd8325c0c1a7.png，所以0703f556f7401eb16e995cf6e6a4b4f0.png，故选A.

7.C【解析】aff74e7dbed3b627be1c2a5f8eef6953.png.故选C.

8.B【解析】几何体的直观图为四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png.如图.因为d2fcfa6d6de46ff9bf9dcb9f433781fc.png，b432e4f9edc87d02f1191707a65e1c58.png，c08f94f47f6293c15994b9eff52cddd3.png.

所以c33b3116eb585080aa1fa75e5ea79ca2.png≌61d74ca7e28de72c935732f2dd9857b2.png.

因为6badd10cbda3dbe6a0586c220097d64a.png平面fb8e886d6efe8bfd7b19867bf881b765.png，所以d012d1fcd4d8bd92b82692f4a891fb53.png.同理，d52ee43a0e69ca9d19e39b7f267d96b7.png.

因为1146bc631963a53c1657eb0b85185737.png，2026fcaf884420bfb0aefb0ec75c2f46.png，7596f397716f3c4e79d23cc438dff93a.png，所以f54c7a827fbfc68cf4fe1d42b7fac7cf.png≌b5f839f9f447642382076b297be8c685.png.又c33b3116eb585080aa1fa75e5ea79ca2.png与f54c7a827fbfc68cf4fe1d42b7fac7cf.png不全等.故选B.

9.A【解析】在c2196e00bc8bd87732d45cbe12a3522e.png中，b98f5e2570650cbb9e811a23f22936ea.png，0591fcb0bf4b7ecd0420a156cd642313.png，ce7474a91c3288d224ddd8ad90c71e28.png，由余弦定理，得0751642bd561d95125f1b33bac67c66f.png，

所以bd672ac0e99e4df7b4ff4f790899b3aa.png.

所以所求概率为c1bc60b47073c25af5f24d772509efca.png.

故选A.

10.C【解析】画出函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的图像如图所示，由图可知2348ed56045db16fec29744c0c02e463.png，所以ac52757b7547170a388abff164f2796b.png.故选C.

11.A【解析】如图，作dc68958fa46ffc23f380d907696d1a1e.png于点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png.8035584fe0dbf311211072214d8f05b8.png于点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png.因为4acfefce73d700fdf5a94e66d27f0773.png与圆5e7ded6b3a54ab3a99b931185210e0fc.png相切，2ce4a90efd3b18479e7370e6ed430098.png，所以6cdc10cef81635e2abd6666269be5535.png，2576c12000628f75948c658636e8a15a.png，02c3ecf2b74a995504f7bb092ce8a953.png，a255bb949d1a68b2d9afe7b241947298.png.又点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png在双曲线上.所以47c5afee29c8bcd26e9033e45bf3dbbd.png.整理，得1a73c705bb5ad7dd3a0ba931d3182a95.png.所以49f3cde5b99360691ef6c6eb480a376d.png.所以双曲线的渐近线方程为1e70f74fa18bae9e0b203514e54e2433.png。故选A.

12.B【解析】连结2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png.因为d17c7b411058df36de31f24d07a6b108.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png.所以过5992a031b52d98c222452fec1d955840.png的平面与平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png的交线一定是过点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png且与2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png平行的直线.过点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png作36a3f9809f9d1bca7cbb4fe4c6e0a9ce.png交4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png于点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，交b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png于c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png点，则44d2bc2d9eb85ccfca3e8512a933892c.png，连结088a2013906137902c9832d2f5a3a940.png，2a5271c118492b7bb2274dd278a033ba.png.则平行四边形17dd6919f5930ea8bd58fecbafd7eb7b.png即为截面.则五棱柱b1e6828191cd342f2e206be8bda049b7.png为15df402d99d5ae494c0eec6b149b3dd9.png，三棱柱70e7f254971bb4cab0afec9022d936a9.png为4925ee5356b4ace0e28f0324cf3a81de.png，设69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png点为4925ee5356b4ace0e28f0324cf3a81de.png的任一点，过69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png点作底面703fe088346610133e7e81ef6d0350ee.png的垂线，垂足为8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，连结32d14c15c151a52544979854dce8c173.png，则517096f1ac81324648bb0cf60e326d39.png即为d4b5d615eb77ee42cb46614c739a42aa.png与平面703fe088346610133e7e81ef6d0350ee.png所成的角，所以d59471e270ed9ddf7f61c775ba9370a4.png.

因为e5419a8a7da6258630eed63ea9fca083.png，要使ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的正弦值最大，必须943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png最大，d4b5d615eb77ee42cb46614c739a42aa.png最小，当点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png与点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png重合时符合题意.故4f7fd461d267a118b10431d56c798b30.png.故选B.

二、填空题

13.1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png【解析】可行域如图所示，

当直线66b7e3060982c966649bb24a26512f47.png经过点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png时，fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png取得最小值.解方程组67ea9e7fca3e5a0c072730dda5c0800c.png可得点d80f918f496a9f3f7837266b2078b14a.png，所以5555380ba8877cdc32bf5612f4ff1561.png.故填1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png.

14.16【解析】据题意，得b4506ebbffdb5f05ed8f10d91a5a1268.png，

所以当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，93a87dc5e2f3f8cd3d0d5220e03dc16d.png.

两式相减，得accffacd3fbcc9a4c1f02f1a3ac3d75d.png.所以当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，47817d6d6133b119680bdb49a7d4281f.png，故dffe49e69cacb0eed02b21588d20cec6.png.

15.120【解析】d5e1c564ba13dd3497c854423507c334.png.故填120.

16.4【解析】据题意知，函数00a2fe0093efef55612a2c0cff630eb3.png的图像关于直线566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png对称，曲线7be0cc44b9638560eeb175cbe8dc1e7e.png关于直线566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png对称，所以f936e6f831f4bf3b8f46b4435b5d7cbb.png，6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png.所以02c1bfbd4550a2f130eef29eb62754d0.png，6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png.因为d49009518271bd3a068950f20e443680.png，所以6770cea8a8d7e243bcd7cf7b3789105d.png.所以d995ee6ad6a9156e88ed91d36a7522ea.png.又7ff241bef9da05a23c035bc665784fc8.png与00a2fe0093efef55612a2c0cff630eb3.png在区间6322357d4f53fbbb4f0a5410a9ca11e2.png上都为减函数，所以110d39e87f1784e66c651289aa599bb1.png.

三、解答题

17.解：（1）由已知，得75fe616d07b5653ae6a2334c30045275.png………………………………………………1分

又c1a3b5940aab7ad3f929547ec8dd66b6.png，398f3a0b1b440432d17afe0c6b4b8dd9.png，

在c33b3116eb585080aa1fa75e5ea79ca2.png中，由余弦定理，

得47e2af27b5f63c736dd7a130e7011cc7.png，……………………4分

整理，得5f62d1d1936ebfaa43c2f3a8b835b981.png.解得0e0ffc45eb6eefa2d2c2abc33d4bc841.png.…………………………………………6分

（2）由（1）知，338b01490bcad9bbc9a7b8617cdf7fba.png，

所以在6f97d09ff615a47ab4bbb0645221460c.png中，由正弦定理.得22a1cb0ee841190a58f3658c97a1e0d2.png，…………………………8分

解得c9c836f3a84606dab3df6296a2365ed5.png.………………………………………………………9分

因为80feb1fec117e585ef1f8ef92bd2b99b.png，所以01d0f3065b1666755be36ba673b5779e.png，从而597e30b4682a2eee72e8fbbb0a3e55fb.png，即0daba837908b3e49681e4a9d818e18b0.png是锐角，……11分

所以d378d95bc26de16882cdf9881f614197.png.……………………………………………………12分

18.（1）证明：在题图1中，因为c2d6f0176a98a3c0e4bb7702d994c899.png，且f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png为b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点。由平面几何知识，得52f4c087296260b9cf32142373cb45e1.png.…………………………………………………………………1分

又因为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png的中点，所以fe2370596214f3340a101aa533f02b54.png……………………………………………2分

在题图2中，628e9dc15ed18eeee667cdcb9fa3fb35.png，c69ec3a0e769fa20fa50b36228572a8b.png，且2640838d56acaae2cd4bd51cb303eeee.png，

所以4ca80a3c1e9a8ce23be4f390daa30ec8.png平面7ee085f97e63e0e2b1b105dee1341886.png，

所以6badd10cbda3dbe6a0586c220097d64a.png平面7ee085f97e63e0e2b1b105dee1341886.png.…………………………………………………………………4分

又因为e3b0f2cbde0017722dcb19cd2457405a.png平面870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31c.png，

所以平面73e1fb19e60284e316c74bb6ba57340c.png平面7ee085f97e63e0e2b1b105dee1341886.png.…………………………………………………………5分

（2）解：因为平面36757735595805371470a0a0d7f379e3.png平面8ca0e261ad78b20620b50e616b8bd024.png，平面dd4e967a9452318ff2652846273f3d2d.png平面dafdda371623c97166627b3c01345e30.png，ae8dec0531458c977625131ed08b7822.png平面a72ec9c8e41b0dcd5b470268ce40202a.png，3dafb8ed1e9d6f26745aa2766b7dfa25.png.

所以a39fbd3bd93f13275eaad499be5aabcc.png平面8ca0e261ad78b20620b50e616b8bd024.png.………………………………………………………………6分

又因为58222fe8fe2e75325990b87e76727c6e.png平面8ca0e261ad78b20620b50e616b8bd024.png，

所以e0f45d586dfb6a59b6fc38cf578c542d.png.…………………………………………………………………………7分

以3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为坐标原点，分别以96ca36c182ff13729025ab8c17ca6135.png，4b5343c5b1fdf802ffec5c781e3eba72.png，104c753fcaa91ce8eb61e6ac34fc9d6a.png的方向为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴、415290769594460e2e485922904f345d.png轴、fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.…………………………………………………………………8分

在题图1中，设140caf57a377789e4d902eb681ae10a7.png，则c9db9bd8ed0f752af135944162f6d9df.png，99ce8d76bb242663460c65b493bb9cc4.png，ebfc966e7e2e1a4b7e1c7b5b586528dd.png，296b6244a890b2fc8abb845c44b65cd4.png.

则5ae7c4a4d5fdb1d3435516e5b46fed38.png，b059bc0dd8f68bd433d21523561c41be.png，b10e74e6df854c778375047cc3059908.png，1e01489af2b04a84f27645f12820c11f.png.

所以514b5b81a0657c18dd364d4b8524e9ca.png，e19711c787b9403a992e7678eaf8350d.png，2260bf1fe3d531e8f696bb2cf9de75fa.png.……………9分

设2e0e9403778b39e1944c11ac1ab918ca.png为平面870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31c.png的法向量，

则908cf922c6f6ebd38ad391220c70dede.png，即9ea588565a395d6727f8d0d3a5cf4337.png

令6a267007228f9f654a0d28dec6932c31.png，则9360d2c79de73e141e391d96ae0770ba.png.所以b018bce48be662bdd2bf60700fca3d1b.png.…………………………………………………11分

设e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png与870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31c.png平面所成的角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，

则28afbe054cc10ceaaef1107b1a00ce86.png.

所以直线e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png与平面870bdaa9db65e784f40c7af06d1ee31c.png所成角的正弦值为66cbd588e43beda649d9e826410812cb.png.…………………………………12分

9.解：（1）由题意知：75121f15648dc289ae27c9f47b3e6e4b.png，所以的取值为10，11，12，13，14，………1分

代入a99688aa34728415442f80d231058ecf.png，可得696bb2bb1441e8e54def7a5c78459d3f.png，………………3分

解得137ca5a9a141660f963517d3f944a3bd.png.……………………………………………………………………………4分

（2）由（1），得d4e12e73fa8417ed0337af7c4e1a01ef.png，频率分布直方图如图：……………6分

这40名新生的高考数学分数的平均数为47248e47d931ba233733d13b87bbf3b9.png. ……………………8分

（3）由题意可知，fda2efc67a5a3f59158836ffaeb67f80.png，且“高考数学分数不低于130分”的概率为e180b122cabb1e718d40b8777efda146.png，所以8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png～63c8ce9114e01a8d02f32cabeb3ce9f3.png……………………………………………………10分

所以35e47b1af5db21747d102d228a4143a7.png.…………………………………………………………………12分

10.（1）解：根据题意知，3f729f6e70e5527b18fb2ff0bc8e5700.png，①……………………………………………1分

因为7f3c63544231ad474710a2a3c3c2f3f4.png，所以1fc56fa40293a38b87165c0511022380.png.②. …………………………………………………2分

联立①②解的9d11d436c5b48c87263e3fa8ac351276.png，905b566b5fb4359eb506b353ea3775f2.png.………………………………………………………… 4分

所以3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png的方程为b7bf0bbb3aea3ebebe87dc0550cbb01d.png.………………………………………………………………5分

（2）证明：方法一，设f23a6b9621c24ee7cde2c03c0200328f.png，923be2829c6cb625ac1f0cdbe244a3c3.png.由题意，可设直线5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png的方程为10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png，代入b7bf0bbb3aea3ebebe87dc0550cbb01d.png，得79531214593aef977c06b13eed9b6e95.png.

（3）由根与系数的关系.得b7f539b196fbf4b51bb693413f8b3c56.png，7bad0be800783ce2479060430a7e0e82.png.③…………………………6分

由2f5914668a0c51399659eaddb30e3146.png轴及点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在直线c056f19f4acbc3fec6f220dab7f1bc48.png上，得f51c3d320dc2d0cff7ce26be713db4d0.png，

则由7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png三点共线，得64090ee66ee4a550d2a74e4d3a20aa06.png，………………………………8分

整理，得837e4fc0b35be157e70422936ff05652.png.

将③代入上式并整理，得fcf972124937bb8ff1f3c52ad85f1317.png. ……………………………………………………………………10分

由点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的任意性，得0edf5420952b679aeee90ab85fc8ca4f.png，所以70ce01eb24ce1e34f636ebe923d63ffe.png.

即直线5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png恒过定点f56d78b6cf5ecb27ae30561ae9551475.png. ……………………………………………………………12分

方法二，设88f7ada3d5d7d69f4224a84b27d4b9b7.png，2d8c96aa81fd5747bc33cbe88de8f774.png，

则de6c4a580e25b15ea844894374256473.png，6218800b7f1ec33a6d0506e3e7d5782b.png，d25da36bf12d50002944d838bc0bd0fd.png.…………………………6分

由7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png三点共线，得d0a4ae7a68bdeda6d9ebbfbfff71ca95.png，

即450cc568e8e0bf84e4b15daa82889fcc.png，即0dcdb72c95a7d40ba834566dc4546fa8.png.…………8分

当c303081f7a16f603112b0375bdc84883.png时，点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png坐标为ff1789272162e18ce51416fe8bf9c12e.png，与bef959833b7b5f346c022cfc9bbb10c9.png重合，不合题意；

当d9f5ba00c3cde98c21f6c5154a3f98dc.png时，3a9032574c065edb82ae3cd6c229acfa.png，

整理，得5b38c8a3e2bdf7564a6dd7933a694c73.png.③

因为0dbec698acd6a7c468b756efb0324ea3.png，

所以直线5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png的方程为5cf1bb205fc1b579061215cec28d1619.png. ……………………………………10分

结合③.得5901e30153400d7bb37afa54b0583a7a.png

2248172c40f62dd2fec2004ba7a7d0b2.png

79eff591398a32a33b4a7754eb122321.png

cd57a6ee46e124921b13544f5858ce74.png，

所以直线5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png恒过定点f56d78b6cf5ecb27ae30561ae9551475.png. ………………………………………………………12分

21.（1）证明：当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，ddd77b57215922519a9602ddb4f6543c.png，则8c90058e9808ba95b91d32baa69e7e64.png.………………1分

由01071e0cb8a0f4f22f4def25b108f0d5.png.得e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png.

当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png；当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，

所以函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在区间6aebe4fc50113bb0aeaa150f7d4a291d.png内是减函数。在区间1fd5a0acabffccf10f5498511c239d84.png内是增函数，………3分

所以e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的极小值点，也是最小值点.且57a3ccc867c8d58a6598801ea393d544.png，

故当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时.76894d6926db708669ea5d4321d99928.png恒成立.………………………………………………………5分

（2）解：据题意，得8038c9edd027a8c2b4c8901c9f5a9ea3.png.

①当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png恒成立.则函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上是减函数。

又61dece1bc677fdfaf33798cddb92b520.png，所以函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有且只有一个零点. …………………………………6分

②当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时.由01071e0cb8a0f4f22f4def25b108f0d5.png，得e269b4d4fb511665d5b74bc73cb5a355.png.

当9a62c3f527504ea9238a8d716b484594.png时，ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png；

当a3de5116132dafec42adf91fafbe4fdc.png时，82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，

所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在区间88fb949fd4bea88469fcaa58c16affe1.png内是减函数，在区间7e76bfce32a9633f6f3cf31c585759cd.png内是增函数。

所以e269b4d4fb511665d5b74bc73cb5a355.png是函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的极小值点，也是最小值点，

即018b2ca049989377c56b26a654463325.png.…………………………………………7分

令416d1a1b23faf58e135cafecd961a01f.png，

则37c18179c37d4908a7d04e639fa1961a.png，

当b73c3280b6f85a6ac520af103083f535.png时，a8633521985e165bd2cadf12ffbb2e7b.png；

当c2fdb4c46f6b00ac096abf36f58843e0.png时，4daae0af32a9a2d395d0ae45cb83b181.png；

当af73024a54a91c6424ec5935b70d6300.png时，f4635b85b930feb1cd5ace46c5a71770.png，

所以函数362c65781aab6f2a280654dd9a619d74.png在区间7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png内是增函数，在区间2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png内是减函数，

从而b73c3280b6f85a6ac520af103083f535.png是函数362c65781aab6f2a280654dd9a619d74.png的极大值点.也是最大值点，所以cfabb161cc94f9710493567bde31e6eb.png，

即1e3f36a3e007cd4b0b7b5b37b649b92b.png（当且仅当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时取等号）………………………9分

当5ceffa0c55a2d9295cef514caf91002b.png，即3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png只有一个零点…………10分

当8f0b71e3b34a329d3773a93dcbe31c22.png，即323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png时，分cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png和81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png两种情况讨论：

（i）当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，8404950b23aa16d5fbb9bdc63feb18a6.png，因为6425e99c6f88fa4adf1c1977c42dc5e1.png，所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在区间88fb949fd4bea88469fcaa58c16affe1.png内有一个零点；又61dece1bc677fdfaf33798cddb92b520.png，因此ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有两个零点.

（ii）当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，fb817665cc411a964cdd01d914e641d5.png；

由（1），得74934792d56436d9c088b0ccd6e92d44.png.即3b84a366abdb27be65ac6ac040b0d03e.png，亦即00afcade98fe9a60e857e9c9c6463c58.png.

令ea6552461b1845b8ae0983ac03677755.png.则得4cd75d93b01b06cb27ddf533fd39f86a.png，即c59f54c5be5c65e4ceebf18ab7295455.png，

所以5c4a7f7471c7f06e8a8c757109717254.png，

所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在区间7e76bfce32a9633f6f3cf31c585759cd.png内有一个等点.

又61dece1bc677fdfaf33798cddb92b520.png，

因此函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有两个零点.

由（i）和（ii），得当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png或81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有两个零点.

综上，当90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png或3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png只有一个零点；

当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png.且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png时，函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有两个零点。………………………………………12分

22.解：（1）由5d2eb10974f5f438905d085726f3f5c6.png，得3dce69ba07f3fac9a9fa74901f8e010b.png，

所以曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的直角坐标方程为98ea6d0f00db864c4150efbc235052fe.png，

即c414b7126ae01fc10ffb23f3762d7637.png，…………………………………………………………3分

直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的普通方程为daa63ef966cc412541190bc8794731de.png. …………………………………………………………5分

（2）将直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的参数方程13c52a3c5eed78f4bd75f6068c985261.png代入98ea6d0f00db864c4150efbc235052fe.png并化简、整理，

得4c575616f340c0a4c0f75019d7faf44b.png.……………………………………………………5分

因为直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png交于69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点。

所以83eee6822a27fd002d720dcdbf6745a1.png，解得7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png.…………………………………6分

由根与系数的关系，得bd7876aa0fc3af6923355d7bda95a004.png，cc6cd87c6f49e4a67df3692eb7e8d645.png. ………………………7分

因为点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的直角坐标为1ec4822109da7869089d5f8ccc3951ab.png，在直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上。

所以0d8e923607042c7e489b73e448739488.png，……………………………………9分

解得83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，此时满足323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png.且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png，

故83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png.…………………………………………………………………………………10分

23.解：（1）由已知不等式，得b47e7c4e8f63fb07ee8303fc9ae71959.png.………………………………………1分

考虑到887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png，不等式又可化为17b4b4f701ed88d99d8d907fa19f6270.png或af30bc4df69e39f7096c6d9147da6bc5.png………………………3分

解得79db36b1f9bd5e7153e693a5eaad7683.png或3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png.

所以不等式06b2a38e67ceb43f89010918f9f49713.png的解集为962e6bd7eaf24b9e6615e61a157decf3.png.………………………………5分

（2）设dae55828269a7d533ed1823bde6ab005.png，则270c997b3ea0e65c93c3bc2f5c632c1a.png.

因为38d12bbafabff123e5f59ea25a2a3fc4.png当且仅当ec5d8c79f505385ba89e875b118f25c9.png时取等号，

所以6f20fc449cd65f55580e5ef1a415a2e8.png. …………………………………………………………………7分

因为函数f69f0cb61516eb8e964ee81d44a53e1f.png的值域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，

所以437ef7954905972dbb8f11c37615d268.png有解，即a2782960074e3095ec4d45b90c979ade.png.

因为6eb47c2599058f7dadf23803b749be74.png，所以48573bf5f8bdbf4482adaade26480254.png，即e3f3929522688632f42a87a4316748ec.png.

所以实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是48e8b8da0b654b48f716b7261fc60c43.png.…………………………………………………10分