2018届中考数学复习第六讲第3课时抛物线中的一个动点问题同步练习

5 第3时 抛物线中的一个动点问题

(40分)

1．(20分)[2018 酒泉]如图6－3－1，已知二次函数＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点c(8，0)，与轴交于点A

(1)求二次函数＝ax2＋bx＋4的表达式；

(2)连结Ac，AB，若点N在线段Bc上运动(不与点B，c重合)，过点N作N∥Ac，交AB于点，当△AN面积最大时，求N点的坐标；

(3)连结，在(2)的结论下，求与Ac的数量关系．

【解析】 (1)用待定系数法，将点B，点c的坐标分别代入＝ax2＋bx＋4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式；

(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，cN＝8－n由题意可知，Bc＝10，A＝4，S△ABc＝20，S△ABN＝2(n＋2)，因N∥Ac，根据平行线分线段成比例定理可得AAB＝NcBc＝8－n10，由△AN，△ABN是同高三角形，可得出S△ANS△ABN＝AAB＝cNcB＝8－n10，从而得出△AN的面积S与n的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n＝3时，即N(3，0)时，△AN的面积最大；

(3)当N(3，0)时，N为Bc边中点，由N∥Ac推出为AB边中点，根据直角三角形中线定理可得＝12AB，利用勾股定理，易得AB＝25，Ac＝45，即可求出＝14Ac

解(1)将点B，点c的坐标分别代入＝ax2＋bx＋4，得4a－2b＋4＝0，64a＋8b＋4＝0，

解得a＝－14，b＝32

∴该二次函数的表达式为＝－14x2＋32x＋4；

(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)；

则BN＝n＋2，cN＝8－n

∵B(－2，0)，c(8，0)，∴Bc＝10

令x＝0，得＝4，∴A(0，4)，A＝4，

∵N∥Ac，∴AAB＝NcBc＝8－n10

∵A＝4，Bc＝10，∴S△ABc＝12Bc A＝20

S△ABN＝12BN A＝12(n＋2)×4＝2(n＋2)，

又∵S△ANS△ABN＝AAB＝8－n10，

∴S△AN＝8－n10S△ABN＝15(8－n)(n＋2)＝－15(n－3)2＋5

∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AN的面积最大；

(3)当N(3，0)时，N为Bc边中点．∴为AB边中点，

∴＝12AB，∵AB＝B2＋A2＝4＋16＝25，

Ac＝c2＋A2＝64＋16＝45，

∴AB＝12Ac，∴＝14Ac

2．(20分)[2018 贵港]如图6－3－2，抛物线＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与轴交于点c

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABc时，求点E的坐标；

(3)在(2)的条下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠cAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

解(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得

25a－5b－5＝0，9a＋3b－5＝0，解得a＝13，b＝23，

∴抛物线的表达式为＝13x2＋23x－5；

(2)在＝13x2＋23x－5中，令x＝0，可得＝－5，

∴点c坐标为(0，－5)，

∵S△ABE＝S△ABc，且点E在x轴下方，

∴点E纵坐标和点c纵坐标相同，

当＝－5时，代入可得13x2＋23x－5＝－5，

解得x＝－2或x＝0(舍去)，

∴点E坐标为(－2，－5)；

(3)假设存在满足条的P点，其坐标为，132＋23－5，

如答图，连结AP，cE，AE，过点E作ED⊥Ac于点D，过点P作PQ⊥x轴于点Q，

则AQ＝A＋Q＝5＋，

PQ＝132＋23－5，

在Rt△Ac中，A＝c＝5，

则Ac＝52，∠Ac＝∠DcE＝45°，

由(2)可得Ec＝2，在Rt△EDc中，可得DE＝Dc＝2，

∴AD＝Ac－Dc＝52－2＝42，

当∠BAP＝∠cAE时，则△EDA∽△PQA，

∴EDAD＝PQAQ，即242＝132＋23－55＋，

∴132＋23－5＝14(5＋)或132＋23－5＝－14(5＋)，

当132＋23－5＝14(5＋)时，整理可得42＋5－75＝0，解得＝154或＝－5(与点A重合，舍去)，

当132＋23－5＝－14(5＋)时，整理可得42＋11－45＝0，解得＝94或＝－5(与点A重合，舍去)，

∴存在满足条的点P，其横坐标为94或154

(40分)

3．(20分)[2018 南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点，顶点为A(1，1)，且与直线＝x－2交于B，c两点．

(1)求抛物线的表达式及点c的坐标；

(2)求证△ABc是直角三角形；

(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作N⊥x轴与抛物线交于点，则是否存在以，，N为顶点的三角形与△ABc相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】 (1)∵顶点坐标为(1，1)，

∴设抛物线表达式为＝a(x－1)2＋1，

又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，

∴抛物线的表达式为＝－(x－1)2＋1，即＝－x2＋2x，

联立抛物线和直线表达式，可得

＝－x2＋2x，＝x－2，解得x＝2，＝0或x＝－1，＝－3，

∴B(2，0)，c(－1，－3)；

(2)证明如答图，分别过A，c两点作x轴的垂线，交x轴于D，E两点，

则AD＝D＝BD＝1，BE＝B＋E＝2＋1＝3，

Ec＝3

∴∠AB＝∠cB＝45°，即∠ABc＝90°，

∴△ABc是直角三角形；

(3)假设存在满足条的点N，设N(x，0)，则(x，

－x2＋2x)，

∴N＝|x|，N＝|－x2＋2x|，

由(2)在Rt△ABD和Rt△cEB中，可分别求得AB＝2，Bc＝32，

∵N⊥x轴于点N，∴∠ABc＝∠N＝90°，

∴当△ABc和△N相似时有NAB＝NcB或NcB＝NAB，

①当NAB＝NcB时，则有|－x2＋2x|2＝|x|32，

即|x| |－x＋2|＝13|x|，

∵当x＝0时，，N不能构成三角形，∴x≠0，

∴|－x＋2|＝13，即－x＋2＝±13，

解得x1＝53，x2＝73，

此时点N坐标为53，0或73，0；

②当NcB＝NAB时，则有|－x2＋2x|32＝|x|2，

即|x| |－x＋2|＝3|x|，

∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，

解得x＝5或－1，

此时点N坐标为(－1，0)或(5，0)，

综上可知，存在满足条的点N，其坐标为53，0或73，0或(－1，0)或(5，0)．

4．(20分)[2018 泸州]如图6－3－4，已知二次函数＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)，B(4，0)，c(0，2)三点．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠cA(是坐标原点)，求点D的坐标；

(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点，连结PA分别交Bc，轴于点E，F，若△PEB，△cEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值．

【解析】 (1)根据待定系数法求解；

(2)设直线BD与轴的交点为(0，t)．根据tan∠BA＝tan∠cA列关于t的方程求解t，从而可确定直线BD表达式，再求直线BD与抛物线交点坐标即可，注意分类讨论；

(3)过点P作PH∥轴交直线Bc于点H，设P(t，at2＋bt＋c)，根据直线Bc表达式点H的坐标，计算线段PH长度；用t表示直线AP表达式，解出点E，F坐标从而可表示出线段cF，将S1－S2用t表示，根据二次函数性质求最值．

解(1)设抛物线的表达式为＝a(x＋1)(x－4)，∵抛物线图象过点c(0，2)，∴－4a＝2，解得a＝－12

∴抛物线的表达式为＝－12(x＋1)(x－4)，

即＝－12x2＋32x＋2；

(2)设直线BD与轴的交点为(0，t)．

∵∠DBA＝∠cA，∴∠BA＝∠cA，

∴tan∠BA＝tan∠cA＝2，∴|t|4＝2，即t＝±8

当t＝8时，直线BD表达式为＝－2x＋8

联立＝－2x＋8，＝－12x2＋32x＋2，解得x1＝4，1＝0； x2＝3，2＝2

∴D(3，2)．

当t＝－8时，直线BD表达式为＝2x－8

联立＝2x－8，＝－12x2＋32x＋2，

解得x1＝4，1＝0； x2＝－5，2＝－18∴D(－5，－18)．

综上点D的坐标为(3，2)或(－5，－18)；

(3)如答图，过点P作PH∥轴交直线Bc于点H，设Pt，－12t2＋32t＋2， 直线Bc的表达式为＝－12x＋2，则Ht，－12t＋2，

∴PH＝P－H＝－12t2＋2t；

直线AP的表达式为＝－12t＋2(x＋1)，取x＝0，得＝2－12t；

故F0，2－12t，cF＝2－2－12t＝12t；

联立＝2－t2（x＋1），＝－12x＋2，解得xE＝t5－t，

∴S1＝12(P－H)(xB－xE)

＝12－12t2＋2t4－t5－t，

S2＝12 t2 t5－t

∴S1－S2＝12－12t2＋2t4－t5－t－12 t2 t5－t＝－54t2＋4x＝－54t－852＋165

∴当t＝85时，S1－S2有最大值，最大值为165

(20分)

5．(20分)[2018 金华]在平面直角坐标系中，为原点，平行于x轴的直线与抛物线L＝ax2相交于A，B两点(点B在第一象限)，点D在AB的延长线上．

(1)已知a＝1，点B的纵坐标为2

①如图6－3－5①，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点c，求Ac的长；

②如图②，若BD＝12AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式；

(2)如图③，若BD＝AB，过，B，D三点的抛物线L3的顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴交抛物线L于E，F两点，求a3a的值，并直接写出ABEF的值．

图6－3－5

解(1)①对于二次函数＝x2，当＝2时，2＝x2，解得x1＝2，x2＝－2，∴AB＝22

∵平移得到的抛物线L1经过点B，∴Bc＝AB＝22，

∴Ac＝42；

②如答图①，记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N

根据抛物线的轴对称性，得BN＝12DB＝22，

∴＝322

设抛物线L2的函数表达式为＝a2 x－3222

由①得，点B的坐标为2，2，

∴2＝a2 2－3222，解得a2＝4

∴抛物线L2的函数表达式为＝4x－3222；

即＝4x2－122x＋18

① ②

第5题答图

(2)如答图②，设抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作B⊥x轴于点

设＝t，则AB＝BD＝2t，点B的坐标为(t，at2)，

根据抛物线的轴对称性，得Q＝2t，G＝2Q＝4t

设抛物线L3的函数表达式为＝a3x(x－4t)，

∵该抛物线过点B(t，at2)，∴at2＝a3t(t－4t)，

又∵t≠0，∴a3a＝－13，

由题意得，点P的坐标为(2t，－4a3t2)，则－4a3t2＝ax2，

解得x1＝233t，x2＝－233t，EF＝433t，∴ABEF＝32

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