数学必修一复习提纲

第一章 集合及其运算

一．集合的概念、分类：

二．集合的特征：

⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性

三．表示方法：

⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法

四．两种关系：

从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合

五．三种运算：

交集：

并集：

补集：

六．运算性质：

⑴ ，．

⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．

⑶ 若，则，．

⑷ ，，．

⑸ ，．

⑹ 集合的所有子集的个数为，所有真子集的个数为，所有非空真子集的个数为，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为．

第二章 函数

指数与对数运算

一．分数指数幂与根式：

如果，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做．负的次方根记做．

1．负数没有偶次方根；

2．两个关系式：；

3、正数的正分数指数幂的意义：；

正数的负分数指数幂的意义：．

4、分数指数幂的运算性质：

⑴ ； ⑵ ；

⑶ ； ⑷ ；

⑸ ，其中、均为有理数，，均为正整数

二．对数及其运算

1．定义：若，且，，则．

2．两个对数：

⑴ 常用对数：，；

⑵ 自然对数：，．

3．三条性质：

⑴ 1的对数是0，即；

⑵ 底数的对数是1，即；

⑶ 负数和零没有对数．

4．四条运算法则：

⑴ ； ⑵ ；

⑶ ； ⑷ ．

5．其他运算性质：

⑴ 对数恒等式：；

⑵ 换底公式：；

⑶ ；；

⑷ ．

函数的概念

一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．

二．函数：在某种变化过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中称为自变量，变化的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的变化范围叫做函数的值域．

三．函数是由非空数集到非空数集B的映射．

四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．

函数的解析式

一．根据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：已知，求函数的解析式．

二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：已知是一次函数，且，函数的解析式．

三．由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式．

函数的定义域

一．根据给出函数的解析式求定义域：

⑴ 整式：

⑵ 分式：分母不等于0

⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0

⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0

⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0

二．根据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：已知定义域为，求定义域；

已知定义域为，求定义域；

三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．

函数的值域

一．基本函数的值域问题：

二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．

反函数

一．反函数：设函数的值域是，根据这个函数中，的关系，用把表示出，得到．若对于中的每一值，通过，都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成．

二．函数存在反函数的条件是：、一一对应．

三．求函数的反函数的方法：

⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域

⑵ 反解，用表示，得

⑶ 交换、，得

⑷ 结论，表明定义域

四．函数与其反函数的关系：

⑴ 函数与的定义域与值域互换．

⑵ 若图像上存在点，则的图像上必有点，即若，则．

⑶ 函数与的图像关于直线对称．

函数的奇偶性：

一．定义：对于函数定义域中的任意一个，如果满足，则称函数为奇函数；如果满足，则称函数为偶函数．

二．判断函数奇偶性的步骤：

1．判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；

2．验证与的关系，若满足，则为奇函数，若满足，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．

二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

三．已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．

五．若奇函数的定义域包含，则．

六．一次函数是奇函数的充要条件是；

二次函数是偶函数的充要条件是．

函数的周期性：

一．定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期．

2．如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．如果函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为．

函数的单调性

一．定义：一般的，对于给定区间上的函数，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值，，当时满足：

⑴ ，则称函数在该区间上是增函数；

⑵ ，则称函数在该区间上是减函数．

二．判断函数单调性的常用方法：

1．定义法：

⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：

*2．导数法：

⑴ 求函数f(x)的导数；

⑵ 解不等式，所得x的范围就是递增区间；

⑶ 解不等式，所得x的范围就是递减区间．

3．复合函数的单调性：

对于复合函数，设，则，可根据它们的单调性确定复合函数，具体判断如下表：

4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．

函数的图像

一．基本函数的图像．

二．图像变换：

三．函数图像自身的对称

四．两个函数图像的对称