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    2020-2021学年广东省广州市白云区广外附设外语学校九年级(上)期中数学试卷(含答案)-

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    2020-2021学年广东省广州市白云区广外附设外语学校九年级（上）期中数学试卷
    一.选择题（共10小题）.
    1．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了（ ） A．10°
    B．20°
    C．30°
    D．60°
    2．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（3，﹣2）
    B．（2，3）
    C．（2，﹣3）
    D．（﹣3，﹣3）
    3．2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ） A．v＝
    B．v＝106t
    C．v＝t2
    D．v＝106t2
    4．关于这一图案，下列说法正确的是（ ）

    A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的 B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的
    C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的 D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的 5．一元二次方程x2＝2x的根为（ ） A．x＝0
    B．x＝2
    C．x＝0或x＝2
    D．x＝0或x＝﹣2
    6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ） A．3
    B．4
    C．3或4
    D．7
    7．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（ ）


    A．3 B．4 C．6 D．8
    8．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（ ）
    A． B．

    C． D．
    9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
    ①ac＜0；②b＜0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有（ ）

    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
    10．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
    A． B．

    C． D．
    二、填空题（共6小题）.
    11．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝
    （k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ．
    12．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ． 13．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是 ．
    14．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝ ．
    15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．

    16．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为 ．

    三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．解方程：x2﹣4x﹣8＝0．
    18．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C′， （1）画出△A'B'C'．
    （2）写出下列各点的坐标A' ，B′ ，C′ ．


    19．某公司一月份营业额为10万元，若二、三月份增长率相同，到三月份时，营业额达到12.1万元．求二、三月份的平均增长率．
    20．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD． （1）求证：∠CAD＝∠ABC； （2）若AD＝6，求的长．

    21．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3． （1）求这个二次函数图象的顶点坐标． （2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标．
    （3）直接写出这个二次函数图象与y轴的交点坐标 ．
    22．某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件． （1）求k，b的值；
    （2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
    23．如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．
    （1）求证：BC为⊙O的切线；
    （2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB＝2，AD＝2，求线段BC和EG
    的长．

    24．综合与实践 问题情境：
    如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE． 猜想证明：
    （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
    （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明； 解决问题：
    （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

    25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）． （1）求a，b，c的值；
    （2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
    ，）两点，（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．




    2020-2021学年广东省广州市白云区广外附设外语学校九年级（上）期中数学试卷
    试题解析
    一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
    1．解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟， 则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°， 那么10分钟，分针旋转了10×6°＝60°， 故选：D． 2．解：由题意，得
    点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（7， 故选：C．
    3．解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t， ∴106＝vt， ∴v＝，
    故选：A．
    4．解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的． 故选：A．

    5．解：∵x2＝2x， ∴x7﹣2x＝0， 则x（x﹣6）＝0， ∴x＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝3，x2＝2， 故选：C．
    6．解：当3为腰长时，将x＝3代入x4﹣4x+k＝0，得：82﹣4×5+k＝0，

    解得：k＝3，
    当k＝2时，原方程为x2﹣4x+6＝0， 解得：x1＝8，x2＝3， ∵4+3＝4，8＞3， ∴k＝3符合题意；
    当5为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝5有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0， 解得：k＝5，
    当k＝4时，原方程为x2﹣2x+4＝0， 解得：x3＝x2＝2， ∵8+2＝4，3＞3， ∴k＝4符合题意． ∴k的值为4或4． 故选：C．
    7．解：∵AB＝10，OC：OB＝3：5， ∴OC＝3，
    在Rt△OCD中，CD＝∵DE⊥AB， ∴DE＝2CD＝8， 故选：D．
    8．解：∵∠FEG＝50°， 若P点圆心，
    ∴∠FPG＝2∠FEG＝100°． 故选：C．
    9．解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上， ∴a＞0；
    又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴， ∴c＜0；
    ∴ac＜4，即①正确；
    ＝，

    ②由图象知，对称轴x＝﹣，则b＝﹣2a＜8；
    ③由图象知，抛物线与x轴有2个交点2﹣6ac＞0，故③正确； ④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大． 综上所述，正确的结论是：①②③． 故选：B．

    10．解：A、由抛物线可知，b＜0，则ac＞0，ac＞3，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，b＞0，则ac＞0，ac＞4，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，b＞0，则ac＜0，ac＜6，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，b＜0，则ac＜0，ac＞2，故本选项不合题意． 故选：B．
    二、填空题（本大共6小题，每小题3分，共18分）
    11．解：∵点A（﹣2，1），7），m）分别在三个不同的象限，1）在第二象限， ∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
    ∵B（4，2）在第一象限（k≠0）的图象经过其中两点， ∴反比例函数y＝（k≠8）的图象经过B（3，C（﹣6， ∴8×2＝﹣6m， ∴m＝﹣7， 故答案为：﹣1．
    12．解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）， ∴向右平移8个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2）， ∴所得的图象解析式为y＝（x﹣8）2+2． 故答案为y＝（x﹣3）2+2．
    13．解：∵抛物线y＝2x2+8（k﹣1）x﹣k（k为常数）， ∴当y＝0时，8＝2x2+4（k﹣1）x﹣k，

    ∴△＝[2（k﹣2）]2﹣4×5×（﹣k）＝4k2+2＞0， ∴0＝6x2+2（k﹣7）x﹣k有两个不相等的实数根，
    ∴抛物线y＝2x2+4（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点， 故答案为：2． 14．解：∵x2﹣8x＝4，
    ∴x2﹣8x+16＝3+16，即（x﹣4）2＝21， 故答案为：21．
    15．解：由已知得，母线长l＝5，
    ∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×6×π＝15π． 故答案为：15π．
    16．解：连接AC，如图所示． ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB＝BC＝OC． ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AC＝AB． ∴AC＝OA． ∵OA＝1， ∴AC＝1．
    画出第2次、第6次，如图所示． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移5． ∵2019＝336×6+3，
    ∴点B8向右平移1344（即336×4）到点B2019． ∵B3的坐标为（8，0）， ∴B2019的坐标为（2+1344，4）， ∴B2019的坐标为（1346，0）． 故答案为：（1346，0）．


    三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．解：a＝1，b＝﹣4， △＝16﹣2×1×（﹣8）＝48， x＝x1＝7+2， ，x7＝2﹣2．
    18．解：如图，△A′B′C′即为所求：

    （2）A'（﹣1，4），3），2）． 故答案为（﹣1，5），2），2）．
    19．解：设这两个月营业额的平均增长率是x，由题意可得： 10（1+x）2＝12.3，
    解得x1＝0.8；x2＝﹣2.7（不合题意舍去）． 答：这两个月营业额的平均增长率是10%． 20．解：（1）∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC＝∠ABC， ∵∠CAD＝∠DBC， ∴∠CAD＝∠ABC； （2）∵∠CAD＝∠ABC，
    ∴    ＝，

    ∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
    ∴的长＝×π．
    21．解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6， ∴二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，4）．
    （2）∵令y＝5，即﹣x2﹣2x+8＝0，解得x＝﹣3或4， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为：（﹣3，0），6）． （3）∵当x＝0时，y＝3，
    ∴这个二次函数图象与y轴的交点坐标是（5，3）， 故答案为（0，5）． 22．解：（1）由题意可得：∴，
    ，
    答：k＝﹣1，b＝80；
    （2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）4+400， ∴当x＝60时，w有最大值为400元，
    答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元． 23．（1）证明：连接OE，OC； ∵CB＝CE，OB＝OE ∴△OEC≌△OBC（SSS） ∴∠OBC＝∠OEC 又∵DE与⊙O相切于点E ∴∠OEC＝90° ∴∠OBC＝90° ∴BC为⊙O的切线．

    （2）解：过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD，DC，E，B ∴DA＝DE，CE＝CB， 设BC为x，则CF＝x﹣2，

    在Rt△DFC中，解得：；
    ，
    ∵AD∥BG， ∴∠DAE＝∠EGC， ∵DA＝DE， ∴∠DAE＝∠AED； ∵∠AED＝∠CEG， ∴∠EGC＝∠CEG， ∴CG＝CE＝CB＝， ∴BG＝5， ∴AG＝解法一：连接BE，∴∴，
    ，
    ；
    ，
    在Rt△BEG中，
    ，
    解法二：∵∠DAE＝∠EGC，∠AED＝∠CEG， ∴△ADE∽△GCE，
    ∴＝解得：，
    ， ．



    24．解：（1）四边形BE'FE是正方形， 理由如下：
    ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'， 又∵∠BEF＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 又∵BE＝BE'，
    ∴四边形BE'FE是正方形； （2）CF＝E'F；
    理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，

    ∵DA＝DE，DH⊥AE， ∴AH＝AE，
    ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB，
    又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°， ∴△ADH≌△BAE（AAS），

    ∴AH＝BE＝AE，
    ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴AE＝CE'，
    ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE＝E'F， ∴E'F＝CE'， ∴CF＝E'F；
    （3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，

    ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE'＝E'F＝BE，
    ∵AB＝BC＝15，CF＝32＝E'B4+E'C2， ∴225＝E'B2+（E'B+5）2， ∴E'B＝9＝BE， ∴CE'＝CF+E'F＝12，
    由（2）可知：BE＝AH＝2，DH＝AE＝CE'＝12， ∴HE＝3， ∴DE＝25．方法一：
    解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且经过（0∴抛物线的一般式为：y＝ax2，
    ∴＝a（）8，
    ，）两点，
    ＝＝3．
    解得：a＝±，

    ∵图象开口向上， ∴a＝，
    ∴抛物线解析式为：y＝x2， 故a＝，b＝c＝0；

    （2）设P（x，y）又∵y＝x2，则r＝化简得：r＝＞x2，
    ，
    ，
    ∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

    （3）设P（a，a2）， ∵PA＝，
    作PH⊥MN于H， 则PM＝PN＝又∵PH＝a2， 则MH＝NH＝故MN＝4，
    ∴M（a﹣2，4），0）， 又∵A（0，6）， ∴AM＝当AM＝AN时，解得：a＝0， 当AM＝MN时，解得：a＝4±2＝4，
    ，则a2＝7±2；
    ，AN＝＝， ，
    ＝7，
    ，

    当AN＝MN时，解得：a＝﹣2±2＝8，
    ，则a7＝4±2； ．
    综上所述，P的纵坐标为：0或4+3方法二：
    （3）设P（t，t2）， ∵r3﹣y2＝4， ∴MH＝NH＝5，
    ∴M（t﹣2，0），3），2）， ∵△AMN为等腰三角形， ∴AM＝AN，AM＝MN，
    （t﹣2）5+（2﹣0）5＝（t+2）2+（2﹣0）2，∴t＝7， （t﹣2）2+（8﹣0）2＝62，∴t＝2±4（t+2）6+（2﹣0）4＝42，∴t＝﹣3±2①当t＝6时，P的纵坐标为0， ②当t＝2±3③当t＝﹣2±7时，PY＝（2±2时，PY＝（2±2，∴P的纵坐标为4±5，∴P的纵坐标为4±5．
    ， ，
    ， ，
    综上所述，P的纵坐标为：0或7+2


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