6 正态分布

一、教学目标：

1、知识与技能：了解连续性随机变量的概念以及连续性随机变量的分布密度函数；掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。

2、过程与方法：通过实例认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解。

3、情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。

二、教学重点：正态分布曲线的性质；教学难点：简单正态分布曲线性质的应用；

三、教学方法：讨论交流，探析归纳

四、教学过程

（一）、复习回顾：

1、若离散型随机变量X的分布列为

则称EX= 为随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量取值的 ；

2、如果X是一个随机变量，那么把 叫作随机变量X的方差，记为、DX，DX的算数平方根word/media/image9_1.png叫作随机变量Ｘ的　　　　　　　　　，一个随机变量的方差于标准差都反映随机变量的取值　　　　　　　　，其中标准差与随机变量本身有　　　　　　　　　　，ＤＸ＝　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　

３、超几何分布的数学期望ＥＸ＝　　　　　　

４、二项分布的数学期望ＥＸ＝　　　　　　　，ＤＸ＝　　　　　　　　；

５、设word/media/image10_1.png是一个离散型随机变量，其分布列如下表

求ｑ的值，并求Ｅword/media/image10_1.png、Ｅword/media/image10_1.png

（二）、学生阅读课本P63-65页，教师设问，师生共同归纳

１、随机变量的值可以取　　　　　　　　　，这样的随机变量称为连续性随机变量；

２、函数word/media/image13_1.png的图像称为正态分布密度曲线，简称　　　　；

正态分布完全由参数word/media/image14_1.png与word/media/image15_1.png确定，常记做　　　　　　，如果随机变量Ｘ服从正态分布，

记做　　　　　　　　，则Ｘ的均值ＥＸ＝　　　，ＤＸ＝　　　　　；

３、若Ｘword/media/image16_1.pngword/media/image17_1.png则有word/media/image18_1.png　　　　　　

word/media/image19_1.png　　　　　　word/media/image20_1.png　　　　　　

（三）问题探讨

　【问题１】请阅读课本回答问题：什么是正态曲线，正态分布？

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

word/media/image22_1.png

式中的实数word/media/image23_1.png、word/media/image24_1.png是参数，分别表示总体的平均数与标准差，word/media/image25_1.png的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．

一般地，如果对于任何实数word/media/image27_1.png，随机变量X满足word/media/image28_1.png，则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数word/media/image29_1.png和word/media/image30_1.png确定，因此正态分布常记作word/media/image31_1.png．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～word/media/image31_1.png。

【问题２】请根据课本上正态曲线，说一说正态曲线有哪些性质？

1、正态分布word/media/image31_1.png）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布,通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.

2、通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质。

3、正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）当x=μ时，曲线位于最高点。（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。

五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学。

4、标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是word/media/image32_1.png，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线。

标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题

5、对于正态总体word/media/image33_1.png取值的概率：

在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分

（三）例题探析：

例1、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）word/media/image35_1.png

（２）word/media/image36_1.png

（３）word/media/image37_1.png

【答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 】

例2、某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为word/media/image38_1.png，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率。

解：正态分布的概率密度函数是word/media/image39_1.png，它是偶函数，说明μ＝0，word/media/image40_1.png的最大值为word/media/image41_1.png＝word/media/image42_1.png，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布。

word/media/image43_1.png

（四）、巩固练习：练习册第72页 1、2、3

（五）、课后作业：练习册第72页4、6、8