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    2020年江苏省南通市中考数学试卷-

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    2020年江苏省南通市中考数学试卷
    一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（ ） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 2．（3分）今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2．将68000用科学记数法表示为（ ） A．6.8×104 B．6.8×105 C．0.68×105 D．0.68×106 3．（3分）下列运算，结果正确的是（ ） A．﹣＝ B．3+＝3 C．÷＝3 D．×＝2 4．（3分）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）

    A．36° B．34° C．32° D．30° 6．（3分）一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，则这组数据的中位数是（ ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 7．（3分）下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（ ） A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD 8．（3分）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
    A．48πcm B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2 9．（3分）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
    2第1页（共11页）




    A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）

    A． B．2 C．2 D．3
    二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分） 11．（3分）分解因式：xy﹣2y2＝ ． 12．（3分）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm． 13．（4分）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝ ． 14．（4分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
    15．（4分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ． 16．（4分）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
    第2页（共11页）




    17．（4分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ． 18．（4分）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
    三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．（10分）计算： （1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）； （2）÷（x+）．
    20．（11分）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． （2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图： ①连接OA；
    ②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B； ③在射线OB上截取BC＝OA； ④连接AC．
    若AC＝3，求⊙O的半径．

    21．（12分）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式；
    （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

    第3页（共11页）



    22．（10分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．
    第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表． 两个小组的调查结果如图的图表所示： 第二小组统计表
    等级 A B C D 合计
    人数 17 38 28 7 90
    百分比 18.9% 42.2% 31.1% 7.8% 100%
    若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：
    （1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约 人；
    （2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．

    23．（9分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．

    请用所学概率知识解决下列问题：
    （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由． 24．（12分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE． （1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
    （2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
    第4页（共11页）




    25．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式；
    （2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
    （3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围． 26．（13分）【了解概念】
    有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

    【理解运用】
    （1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
    （2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】
    （3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设出u关于t的函数解析式．
    ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写第5页（共11页）




    2020年江苏省南通市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
    1．解：原式＝1﹣3＝﹣2． 故选：C．
    2．解：68000＝6.8×104． 故选：A．
    3．解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
    C．÷＝＝，此选项错误； D．×＝××＝2，此选项计算正确； 故选：D．
    4．解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，

    6．解：∵这组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3， ∴x＝3，
    从小到大排列此数据为：2，3，3，4，5，6，9， 处于中间位置的数是4， ∴这组数据的中位数是4． 故选：C．
    7．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； 故选：D．
    8．解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6， 所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）． 故选：B．
    9．解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC，

    得点Q所在的象限为第二象限． 故选：B．
    5．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示． ∵EF∥AB，
    ∴∠AEF＝∠A＝54°，
    ∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
    又∵EF∥CD，
    ∴∠C＝∠CEF＝36°． 故选：A．

    由三角形面积公式得：y＝＝30，
    解得EH＝AB＝6， ∴AE＝＝＝8，
    由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
    第6页（共11页）



    则AC＝BC＝AB＝5， 在Rt△OAC中，OC＝＝12，
    所以圆心O到AB的距离为12cm． 故答案为12．

    ∴AD＝AE+DE＝8+4＝12， ∴矩形的面积为12×6＝72． 故选：C．
    10．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△AHB中，
    ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BH＝1，AH＝，
    在Rt△AHC中，∠ACB＝45°， ∴AC＝＝＝，

    13．解：2＝，
    ∵＜＜， ∴5＜2＜6，
    又∵m＜2＜m+1， ∴m＝5，
    故答案为：5． 14．解：∵，
    ，

    ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD，
    在△BFD与△CKD中，
    ，
    ∴∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF＝CK，
    延长AE，过点C作CN⊥AE于点N， 可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC，
    当直线l⊥AC时，最大值为， 综上所述，AE+BF的最大值为． 故选：A．
    二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分） 11．解：xy﹣2y＝y（x﹣2y）， 故答案为：y（x﹣2y）．
    12．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，

    2，
    ∴∴△ABC∽△DEF，
    ，
    ，
    故答案为：．
    15．解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步．
    依题意，得：x（x﹣12）＝864．
    16．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5， 在Rt△ADE中， ∵tan∠ADE＝，
    ∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
    第7页（共11页）


    ∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米）， 故答案为：7.5．
    ＝＝＝÷•．


    20．（1）证明：在△ABE和△ACD中

    17．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
    ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028，
    故答案为：2028．
    18．解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
    平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，（，b+2），
    ，
    ），，
    ∴△ABE≌△ACD（AAS），
    ∴AB＝AC；
    （2）解：连接AB，如图②， 由作法得OA＝OB＝AB＝BC， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°， ∵AB＝BC，
    ∴∠C＝∠BAC，
    ∵∠OBA＝∠C+∠BAC， ∴∠C＝∠BAC＝30° ∴∠OAC＝90°， 在Rt△OAC中，OA＝即⊙O的半径为．
    AC＝×3＝．

    21．解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0），
    把x＝1代入y＝x+3得y＝4， ∴C（1，4），
    设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴，解得，
    ∴a﹣1＝﹣∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3， 故答案为：﹣3．
    三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2） ＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2 ＝12mn+10n2； （2）原式＝
    ÷（+）
    ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1，
    第8页（共11页）


    ∴M（3，6）或（﹣1，2）． 22．解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；
    1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人）， 故答案为：二，922；
    （2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．； 对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性． 23．解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；

    （2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲， 则张先生坐到甲车的概率是＝；
    由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
    则李先生坐到甲车的概率是＝；
    所以两人坐到甲车的可能性一样． 24．解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．
    ∵∠MOP＝∠C＝90°， ∴△POM∽△DCP， ∴∴
    （2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
    ＝＝    ＝＝，
    ＝．

    ∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°， ∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
    ∴∠EPG＝∠PDH， ∴△EGP∽△PHD， ∴＝＝＝＝，
    ∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x， 在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2， ∴（3x）2+（4+x）2＝122， 解得x＝∴BG＝4﹣（负值已经舍弃）， ＝，
    ＝，

    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠BAD＝∠C＝90°，
    由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
    在Rt△EPD中，∵EM＝MD， ∴PM＝EM＝DM， ∴∠3＝∠MPD，
    ∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3， ∵∠ADP＝2∠3， ∴∠1＝∠ADP， ∵AD∥BC，
    ∴∠ADP＝∠DPC， ∴∠1＝∠DPC，

    在Rt△EGP中，GP＝∵GH∥BC，
    ∴△EGP∽△EBF， ∴＝，
    ∴＝，
    ∴BF＝3． 25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0）， ∴0＝4a+2b+c①， ∵对称轴是直线x＝1， ∴﹣＝1②，
    第9页（共11页）


    ∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
    ∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
    ∵AC＝AB， ∴BE＝CE＝3， 在Rt△AEB中，AE＝4，
    ∵CF⊥AD，
    ∴∠D+∠FCD＝90°， ∵∠B+∠D＝90°， ∴∠B＝∠DCF，
    ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB∽△DFC， ∴∴＝，
    ＝    ＝由①②③可得：，
    ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x； （2）∵n＜﹣5，
    ∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
    ∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧， ∵抛物线y＝﹣x2+x，
    ＝，
    ，
    ∴﹣＜0，即y随x的增大而增大，
    ∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
    ∴3n﹣4＞5n+6， ∴y1＞y2；
    （3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
    ∴CF＝∴sin∠CAD＝
    ＝＝．
    （2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．
    由题意可得，
    ∴0＜n＜，
    若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，

    理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
    ∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠DCM＝∠DMC＝45°， ∵∠CDM＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠BDM， ∵AD＝DB，CD＝DM， ∴△ADC≌△BDM（SAS）， ∴AC＝BM，
    ∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2， ∴CM2+CB2＝BM2， ∴∠BCM＝90°， ∴∠DCB＝45°，
    由题意可得：，
    ∴不等式组无解， 综上所述：0＜n＜．
    26．解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．

    第10页（共11页）



    ∴∠DAB+∠DCB＝90°，
    ∴四边形ABCD是对余四边形．

    （3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．
    ∴u＝即u＝＝（0＜t＜4），
    （0＜t＜4）．

    ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2）， ∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°，
    ∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
    ∵四边形ABCD是对余四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝45°，
    ∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠ACE＝∠ADE，
    ∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°， ∴∠EAB＝∠ACE， ∴∠EAB＝∠ADB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴∴＝＝， ， ，
    ∴u＝设D（x，t），
    由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，
    ∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）22+t，
    整理得（x+1）2＝4t﹣t2， 在Rt△ADH中，AD＝＝2
    ＝，
    第11页（共11页）

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