数学实验

练习2.1

画出下列常见曲线的图形。（其中a=1,b=2,c=3）

1、立方抛物线

解：x=-5:0.1:0;y=(-x).^(1/3);

y=-y;

x=0:0.1:5;

y=[y,x.^(1/3)];

x=[-5:0.1:0,0:0.1:5];

plot(x,y)

2、高斯曲线

解：fplot('exp(-x.^2)',[-5,5])

3、笛卡儿曲线

解：ezplot('x.^3+y.^3-3*x*y',[-5,5])

或t=-5:0.1:5;

x=3*t./(1+t.^2);

y=3*t.^2./(1+t.^2);

plot(x,y)

4、蔓叶线

解：ezplot('y.^2-x.^3/(1-x)',[-5,5])

或t=-5:0.1:5;

x=t.^2./(1+t.^2);

y=t.^3./(1+t.^2);

plot(x,y)

5、摆线

解：t=0:0.1:2*pi;

x=t-sin(t);

y=2*(1-cos(t));

plot(x,y)

6、星形线

解：t=0:0.1:2*pi;

x=cos(t).^3;

y=sin(t).^3;

plot(x,y)

或ezplot('x.^(2/3)+y.^(2/3)-1',[-1,1])

7、螺旋线

解：t=0:0.1:2*pi;

x=cos(t);

y=2*sin(t);

z=3*t;

plot3(x,y,z)

grid on

8、阿基米德螺线

解：x =0:0.1:2*pi;

r=x;

polar(x,r)

9、对数螺线

解：x =0:0.1:2*pi;

r=exp(x);

polar(x,r)

10、双纽线

解：x=0:0.1:2*pi;

r=sqrt(cos(2*x));

polar(x,r)

或ezplot('(x.^2+y.^2).^2-(x.^2-y.^2)',[-1,1])

grid on

11、双纽线

解：x=0:0.1:2*pi;

r=sqrt(sin(2*x));

polar(x,r)

或ezplot('(x.^2+y.^2).^2-2*x*y',[-1,1])

grid on

12、心形线

解：x =0:0.1:2*pi;

r=1+cos(x);

polar(x,r)

练习2.2

1、求出下列极限值。

(1)

解：syms n;

limit('(n^3+3^n)^(1/n)',n,inf)

ans =3

（2）

解：syms n;

limit('sqrt(n+2)-2*(sqrt(n+1))+sqrt(n)',n,inf)

ans =0

（3）

解：syms x;

limit('x*cot(2*x)',x,0)

ans =1/2

（4）

syms x;

limit('(cos(m/x))^x',x,inf)

ans =1

（5）

解：syms x;

limit('1/x-1/(exp^x-1)',x,1)

ans =(exp-2)/(exp-1)

（6）

解：syms x;

limit('sqrt(x^2+x)-x',x,inf)

ans =1/2

2、有个客户看中某套面积为180，每平方米7500元。他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率5.04%），按揭贷款中还有10万元为公积金贷款（贷款年利率4.05%），请问他的房屋总价、首付款额和月付还款额分别为多少？

解：（1）房屋总价： (元)

（2）首付款额： （元）

（3）房屋未付钱： (元)

设揭贷款的年利率为，则 其中为本金，y为每月所付的钱。

解：当=945000-100000=845000，时，

syms x y

y=845000*(1+x)^20/240;

x=0.0504;

eval(y)

ans = 9.4133e+003

当=100000，时；

syms x y

y=100000*(1+x)^20/240;

x=0.0405;

eval(y)

ans =921.7867

即每月付还款额为 (元)

3、作出下列函数及其导函数的图形，观察极值点、最值点的位置点的位置并求出，求出所有驻点以及对应的二阶导函数，求出函数的单调区间。

（1）

解：函数图像程序及图像：fplot('x.^2*sin(x.^2-x-2)',[-2,2])

原函数在-1附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('x.^2*sin(x.^2-x-2)',-1)

x = -0.7315

f =-0.3582

原函数在1.5附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('x.^2*sin(x.^2-x-2)',1.5)

x =1.5951

f =-2.2080

原函数在-1.5附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-x.^2*sin(x.^2-x-2)',-1.5)

x =-1.5326

f =2.2364

原函数在0附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-x.^2*sin(x.^2-x-2)',0)

x =0

f =0

原函数在[-2,2]上的最小值：

x=-2:0.1:2;

y=x.^2.*sin(x.^2-x-2);

[m,k]=min(y)

m =-3.0272

k =1

原函数在[-2,2]上的最大值：

x=-2:0.1:2;

y=x.^2.*sin(x.^2-x-2);

[m,k]=max(y)

m =2.2140

k =6

求导函数程序：syms x;

y=x.^2*sin(x.^2-x-2);

diff(y,x)

ans =

2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)

导函数的程序及图像：

fplot('2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)',[-2,2])

导函数在-1.5附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)',-1.5)

x =-1.2650

f =-5.5890

导函数在1.5附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)',1.5)

x =1.2404

f =-2.7572

导函数在-2附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1))',-2)

x =-1.9240

f =17.6746

导函数在-0.5附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1))',-0.5)

x =-0.4742

f =0.7973

导函数在[-2,2]上的最大值：

x=-2:0.1:2;

y=2*x.*sin(x.^2-x-2)+x.^2.*cos(x.^2-x-2).*(2*x-1);

[m,k]=max(y)

m =17.5338

k =2

导函数在[-2,2]上的最小值：

x=-2:0.1:2;

y=2*x.*sin(x.^2-x-2)+x.^2.*cos(x.^2-x-2).*(2*x-1);

[m,k]=min(y)

m =-5.5119

k =8

求二阶导数的程序：

syms x;

diff('x^2*sin(x^2-x-2)',x,2)

ans= 2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)

二阶导数的程序及图像：

fplot('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',[-2,2])

二阶导函数在-1.5附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',-1.5)

x = -1.6847

f =-58.8770

二阶导函数在1附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',1)

x = 0.9282

f =-3.5360

二阶导函数在-0.5附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',-0.5)

x =-0.1798

f =-2.1192

二阶导函数在0附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2))',0)

x =0.2594

f =1.4013

二阶导函数在-1附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2))',-1)

x = -1.0098

f =14.0148

二阶导函数在2附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2))',2)

x =1.9084

f =34.8519

二阶导函数的增区间：【-1.6847，-1.0098】，【-0.1798，0.2594】

【0.9282，1.9084】

二阶导函数的减区间：【-2，-1.6847】，【-1.0098，-0.1798】，

【0.2594，0.9282】，【1.9084，2】

（2）

解：函数图像程序及图像：fplot('3*x^5-20*x^3+10',[-3,3])

原函数在2附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('3*x^5-20*x^3+10',2)

x =2

f =-54

原函数在-2附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(3*x^5-20*x^3+10)',-2)

x =-2

f =74

原函数在[-3,3]上的最小值：

x=-3:0.1:3;

y=3*x.^5-20*x.^3+10;

[m,k]=min(y)

m =-179

k =1

原函数在[-3,3]上的最大值：

x=-3:0.1:3;

y=3*x.^5-20*x.^3+10;

[m,k]=max(y)

m =199

k =61

求导函数程序：syms x;

y=3*x.^5-20*x.^3+10;

diff(y,x)

ans =15*x^4-60*x^2

导函数的程序及图像：fplot('15*x^4-60*x^2',[-3,3])

导函数在-1附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('15*x^4-60*x^2',-1)

x =-1.4143

f =-60.0000

导函数在1附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('15*x^4-60*x^2',1)

x =1.4143

f =-60.0000

导函数在0附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(15*x^4-60*x^2)',0)

x =0

f =0

导函数在[-3,3]上的最大值：

x=-3:0.1:3；

y=15*x.^4-60*x.^2;

[m,k]=max(y)

m =675

k =1

导函数在[-3,3]上的最小值：

x=-3:0.1:3;

y=15*x.^4-60*x.^2;

[m,k]=min(y)

m =-59.9760

k =17

求二阶导数的程序：

syms x;

y=3*x^5-20*x^3+10;

diff(y,x,2)

ans =60*x^3-120*x

二阶导数的程序及图像：fplot('60*x^3-120*x',[-3,3])

二阶导函数在1附近的极小值：

[x,f]=fminsearch('60*x^3-120*x',1)

x =0.8165

f =-65.3197

二阶导函数在-1附近的极大值：

[x,f]=fminsearch('-(60*x^3-120*x)',-1)

x =-0.8165

f =65.3197

二阶导函数的增区间：【-3，-0.8165】，【0.8165，3】

二阶导函数的减区间：【-0.8165，0.8165】

（3）

解：函数图像程序及图像：fplot('abs(x^3-x^2-x-2)',[-3,3])

原函数在0附近的极小值：

[m,k]=fminsearch('abs(x^3-x^2-x-2)',0)

m =-0.3333

k =1.8148

原函数在1附近的极大值：

[m,k]=fminsearch('-abs(x^3-x^2-x-2)',1)

m =1

k =3

原函数在[-3,3]上的最大值：

x=-3:0.1:3;

y=abs(x.^3-x.^2-x-2);

[m,k]=max(y)

m =35

k =1

原函数在[-3,3]上的最小值：

x=-3:0.1:3;

y=abs(x.^3-x.^2-x-2);

[m,k]=min(y)

m =0

k =51

原函数可化简为：

对（1）求导函数程序：

syms x;

y=x^3-x^2-x-2;

diff(y,x)

ans =3*x^2-2*x-1

导函数（1）的程序及图像：fplot('3*x^2-2*x-1',[2,3])

在区间【2,3】上导函数最小值：

x=2:0.1:3;

y=3*x.^2-2*x-1;

[m,k]=min(y)

m =7

k =1

在区间【2,3】上导函数最大值：

x=2:0.1:3;

y=3*x.^2-2*x-1;

[m,k]=max(y)

m =20

k =11

对（2）求导函数程序：

syms x;

y=-x^3+x^2+x+2;

diff(y,x)

ans =-3*x^2+2*x+1

导函数（2）的程序及图像：fplot('-3*x^2+2*x+1',[-3,2])

导函数（2）的极大值：

[m,k]=fminsearch('-(-3*x^2+2*x+1)',0)

m =0.3333

k =1.3333

在区间【-3,2】上导函数最大值：

x=-3:0.1:2;

y=-3*x.^2+2*x+1;

[m,k]=max(y)

m =1.3300

k =34

在区间【-3,2】上导函数最小值：

x=-3:0.1:2;

y=-3*x.^2+2*x+1;

[m,k]=min(y)

m =-32

k =1

对（1）求二阶导函数：

syms x;

y=x^3-x^2-x-2;

diff(y,x,2)

ans =6*x-2

对（1）求二阶导函数的图像及程序：ezplot('6*x-2',[2,3])

对（1），二阶导函数的增区间为:[2,3]

对（2）求二阶导函数：

syms x;

y=-x^3+x^2+x+2;

diff(y,x,2)

ans =-6*x+2

对（2）求二阶导函数的图像及程序: ezplot('-6*x+2',[-3,2])

对（2），二阶导函数的减区间为:[-3,2]

练习2.3

1、求下列方程在限制条件下的根：

（1），

解：fplot('x^4-2^x',[-2,2])

grid on

[x,f,h]=fsolve('x^4-2^x',-1)

x =-0.8613

f =3.6580e-012

h =1

[x,f,h]=fsolve('x^4-2^x',1.1)

x =1.2396

f =2.3298e-010

h =1

（2）

解：solve('x*log(sqrt(x^2-1)+x)-sqrt(x^2-1)-0.5*x','x',[1,inf])

ans =2.1155228843978670800804047839554

2、农夫老李有一个半径为10的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里的一头牛拴在牛栏边界的一根栏桩上，要求只让牛吃到圆形牛栏中一半的草，请问栓牛鼻的绳子应为多长？

解：

3、求解下列非线性方程组在原点附近的根：

解：

fun=@(t)[9*t(1)^2+36*t(2)^2+4*t(3)^2-36,t(1)^2-2*t(2)^2-20*t(3),16*t(1)-t(1)^3-2*t(2)^2-16*t(3)^2];

t0=[0,0,0];

[t,f,h]=fsolve(fun,t0)

t =

0.1342 0.9972 -0.0985

f =

1.0e-008 *

0.7690 -0.0418 -0.1054

h =1

4、画出下面两个椭圆的图形，并求出它们所有的交点坐标：

解：ezplot('(x-2)^2+(y+2*x-3)^2-5',[-10,10])

grid on

hold on

ezplot('18*(x-3)^2+y^2-36',[-10,10])

fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36];

t0=[2,-2];

[t,f,h]=fsolve(fun,t0)

t =

1.7362 -2.6929

f =

1.0e-008 *

0.6598 0.6430

h =1

fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36];

t3=[2,2];

[t,f,h]=fsolve(fun,t3)

t =

1.6581 1.8936

f =

1.0e-010 *

0.0778 0.1889

h =1

fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36];

t4=[4,-4];

[t,f,h]=fsolve(fun,t4)

t =

4.0287 -4.1171

f =

1.0e-012 *

0.1252 0.8882

h = 1

fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36];

t5=[4,-6];

[t,f,h]=fsolve(fun,t5)

t =

3.4829 -5.6394

f =

1.0e-014 *

-0.3553 -0.7105

h =1

练习2.4

1、求下列不定积分，并用验证：

解：

int('1/(1+cos(x))','x')

ans =tan(1/2*x)

验证：diff('tan(1/2*x)','x')

ans =1/2+1/2*tan(1/2*x)^2

int('1/(1+exp(x))','x')

ans =log(exp(x))-log(1+exp(x))

验证：diff('log(exp(x))-log(1+exp(x))','x')

ans =1-exp(x)/(1+exp(x))

simple(ans)

ans =1/(1+exp(x))

int('x*sin(x)^2','x')

ans =x*(-1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x)-1/4*cos(x)^2-1/4*x^2

diff('x*(-1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x)-1/4*cos(x)^2-1/4*x^2','x')

ans =x*(1/2*sin(x)^2-1/2*cos(x)^2+1/2)

simple(ans)

ans =x*sin(x)^2

int('sec(x)^3','x')

ans =1/2/cos(x)^2*sin(x)+1/2*log(sec(x)+tan(x))

diff('1/2/cos(x)^2*sin(x)+1/2*log(sec(x)+tan(x))','x')

ans =

1/cos(x)^3*sin(x)^2+1/2/cos(x)+1/2*(sec(x)*tan(x)+1+tan(x)^2)/(sec(x)+tan(x))

simple(ans)

ans =1/cos(x)^3

2、求下列积分的数值解。

（1）

解：syms x

int(x^(-x),x,0,1)

ans =

int(x^(-x),x = 0 .. 1)

vpa(ans,10)

ans =1.291285997

（2）

解：syms x

int(exp(2*x)*cos(x)^3,x,0,2*pi)

ans =22/65*exp(pi)^4-22/65

（3）

解：syms x

int(exp(x^2/2)/sqrt(2*pi),x,0,1)

ans =

-1125899906842624/5644425081792261*i*erf(1/2*i*2^(1/2))*pi^(1/2)*2^(1/2)

vpa(ans,10)

ans =0.4767191343

（4）

解：syms x

int(x*log(x^4)*asin(1/x^2),x,1,3)

ans =int(x*log(x^4)*asin(1/x^2),x = 1 .. 3)

vpa(ans,10)

ans =2.459772128

（5）

解：syms x

int(exp(x^2/2)/sqrt(2*pi),x,-inf,inf)

ans =Inf

（6）

解：syms x

int(sin(x)/x,x,0,inf)

ans =1/2*pi

（7）

解：syms x

int(tan(x)/sqrt(x),x,0,1)

ans =int(tan(x)/x^(1/2),x = 0 .. 1)

vpa(ans,10)

ans =0.7968288892

（8）

解：syms x

int(exp(-x^2/2)/(1+x^4),x,-inf,inf)

ans =1/2*pi^(1/2)*2^(1/2)*LommelS2(0,1/2,1/2)

vpa(ans,10)

ans =1.696392535

（9）

解：syms x

int(sin(x)/sqrt(1-x^2),x,0,1)

ans =1/2*pi*StruveH(0,1)

vpa(ans,10)

ans =0.8932437410

3、用定积分计算椭圆的周长。

解：

4、考虑积分，分别用（取步长或）和求I(4), I(6), I(8), I(32), 会发现什么问题？

解：I(4): x=0:0.1:4*pi; quadl('abs(sin(x))',0,4*pi)

y=abs(sin(x)); ans = 8.0000

trapz(x,y)

ans = 7.9968

I(6)： x=0:0.1:6*pi; quadl('abs(sin(x))',0,6*pi)

y=abs(sin(x)); ans = 12.0000

trapz(x,y)

ans=11.9974

I(8)：x=0:0.1:8*pi quadl('abs(sin(x))',0,8*pi)

y=abs(sin(x)); ans =16.0000

trapz(x,y)

ans =15.9981

I(32)：x=0:0.1:32*pi; quadl('abs(sin(x))',0,32*pi)

y=abs(sin(x)); ans =64.0000

trapz(x,y)

ans =63.9981

答：我发现用语句比用语句准确度高。

5、编制一个定步长法数值积分程序。计算公式为

其中，为偶数

并取，应用于本节习题2的（3）。

解：

6、一位数学家即将要迎来他的90岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要订做一个特大的蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果——口腔医学的悬念线函数的单位：）。由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店老板必须要计算一下成本，这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉，不妨设蛋糕密度为；另一个是蛋糕表面积（底面除外），由此确定需要多少奶油？

解：

7、已知曲线与轴围成的图形为，分别求一条曲线它们都能平分图形（精确到0.0001）。

解：fplot('exp(x)*sin(x)',[0,pi])

int('exp(x)*sin(x)','x',0,pi)

ans =1/2*exp(pi)+1/2

vpa(ans,4)

ans =12.08

int('exp(x)*sin(x)','x',0,'a')

ans =-1/2*exp(a)*cos(a)+1/2*exp(a)*sin(a)+1/2

8、某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为，然后自动停放水。若使用时间

不超过-5，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10.方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为，然后自动停放水。若使用时间不超过-5，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2时刻再开始第二次放水，持续时间为。但若使用时间超过2-5，则到4时刻再开始第三次放水，持续时间也是……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能的延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间（单位：）见下表

请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的（提示：结合第5章求出所用水的数学期望 ，再利用本节知识对导函数求根得最优解）

练习2.5

1、判断下列级数的敛散性，若收敛，求出其收敛值。

（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）

解：（1）syms n

symsum(1/n^2^n,n,1,inf)

ans =sum(1/((n^2)^n),n = 1 .. Inf)

（2）syms n

symsum(sin(1/n),n,1,inf)

ans =sum(sin(1/n),n = 1 .. Inf)

（3）syms n

symsum(log(n)/n^3,n,1,inf)

ans =-zeta(1,3)

（4）syms n

symsum(1/(log(n))^n,n,3,inf)

ans =sum(1/(log(n)^n),n = 3 .. Inf)

（5）syms n

symsum(1/(n*log(n)),n,2,inf)

ans =sum(1/n/log(n),n = 2 .. Inf

（6）syms n

symsum((-1)^n*n/(n^2+1),n,1,inf)

ans =-1/2*hypergeom([2, 1+i, 1-i],[2-i, 2+i],-1)

（7）

2、求当时公式中的值。

解：原式变形得

当4时，的值为：

syms n

symsum(1/n^8,n,1,inf)

ans =1/9450*pi^8

9450* pi ^16

当5时，的值为：

syms n

symsum(1/n^10,n,1,inf)

ans =1/93555*pi^10

93555*pi^20

当6时，的值为：

syms n

symsum(1/n^12,n,1,inf)

ans =691/638512875*pi^12

638512875*pi^24/691

当7时，的值为：

syms n

symsum(1/n^14,n,1,inf)

ans =2/18243225*pi^14

18243225*pi^28/2

当8时，的值为：

syms n

symsum(1/n^16,n,1,inf)

ans =3617/325641566250*pi^16

325641566250*pi^32/3617

3、用命令观测函数的展开式的前几项，然后再同一坐标系里作出函数和它的展开式的前几项构成的多项式函数的图形，观测这些多项式函数图形向的图形逼近的情况。

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

解：（1）syms x

>> f=asin(x);

>> t1=taylor(f,1),t2=taylor(f,2),t3=taylor(f,3),t4=taylor(f,4),t5=taylor(f,5)

t1 =0

t2 =x

t3 =x

t4 =x+1/6*x^3

t5 =x+1/6*x^3

画图：

x=-4:0.1:4;

>> f=asin(x);

>> t2=x;t4=x+1/6*x.^3;

>> plot(x,f,x,t2,'*',x,t4,'o')

（2）syms x

>> f=atan(x);

>> t1=taylor(f,1),t2=taylor(f,2),t3=taylor(f,3),t4=taylor(f,4),t5=taylor(f,5)

t1 =0

t2 =x

t3 =x

t4 =x-1/3*x^3

t5 =x-1/3*x^3

画图：

x=-4:0.1:4;

>> f=atan(x);

>> t2=x;t4=x-1/3*x.^3;

plot(x,f,x,t2,'*',x,t4,'o')

(3) syms x

>> f=exp(x^2);

>> t1=taylor(f,1),t2=taylor(f,2),t3=taylor(f,3),t4=taylor(f,4),t5=taylor(f,5)

t1 =1

t2 =1

t3 =1+x^2

t4 =1+x^2

t5 =1+x^2+1/2*x^4

画图：

x=-4:0.1:4;

>> f=exp(x.^2);

>> t1=1;t3=1+x.^2;t5=1+x.^2+1/2*x.^4;

>> plot(x,f,x,t1,'b',x,t3,'*',x,t5,'o')

（4）syms x

>> f=(sin(x))^2;

>> t1=taylor(f,1),t2=taylor(f,2),t3=taylor(f,3),t4=taylor(f,4),t5=taylor(f,5)

t1 =0

t2 =0

t3 =x^2

t4 =x^2

t5 =x^2-1/3*x^4

画图：

x=-4:0.1:4;

>> f=(sin(x)).^2;

>> t3=x.^2;t5=x.^2-1/3*x.^4;

>> plot(x,f,x,t3,'*',x,t5,'o')

（5）syms x

>> f=exp(x)/(1-x);

>> t1=taylor(f,1),t2=taylor(f,2),t3=taylor(f,3),t4=taylor(f,4),t5=taylor(f,5)

t1 =1

t2 =1+2*x

t3 =1+2*x+5/2*x^2

t4 =1+2*x+5/2*x^2+8/3*x^3

t5 =1+2*x+5/2*x^2+8/3*x^3+65/24*x^4

画图：

x=-4:0.1:4;

>> f=exp(x)./(1-x);

>> t1 =1;t2 =1+2*x;t3 =1+2*x+5/2*x.^2;

t4=1+2*x+5/2*x.^2+8/3*x.^3;

t5=1+2*x+5/2*x.^2+8/3*x.^3+65/24*x.^4;

>> plot(x,f,x,t1,'r',x,t2,'g',x,t3,'c',x,t4,'m',x,t5,'y')

（6）syms x

>> f=log(x+sqrt(1+x^2));

>> t1=taylor(f,1),t2=taylor(f,2),t3=taylor(f,3),t4=taylor(f,4),t5=taylor(f,5)

t1 =0

t2 =x

t3 =x

t4 =x-1/6*x^3

t5 =x-1/6*x^3

画图：

x=-4:0.1:4;

>> f=log(x+sqrt(1+x.^2));

>> t2 =x;t4 =x-1/6*x.^3;

plot(x,f,x,t2,'r',x,t4,'o')

4、试在同一屏幕上显示及它的阶傅里叶多项式，的图形，观察逼近的情况。

解：函数在是偶函数，有

于是，

与的图像：x=-pi:0.1:pi;

>> y1=pi/2-4/pi*cos(x);

>> plot(x,y1)

>> hold on

y=abs(x);

>> plot(x,y)

与的图像：x=-pi:0.1:pi;

>> y2=pi/2-4/pi*(cos(x)-cos(3*x)/9);

>> plot(x,y2,'r')

>> hold on

>> y=abs(x);

>> plot(x,y)

与的图像：x=-pi:0.1:pi;

>> y3=pi/2-4/pi*(cos(x)-cos(3*x)/9+cos(5*x)/25);

>> plot(x,y3,'y')

>> hold on

>> y=abs(x);

>> plot(x,y)

与的图像：x=-pi:0.1:pi;

>> y4=pi/2-4/pi*(cos(x)-cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+cos(7*x)/49);

>> plot(x,y4,'c')

>> hold on

>> y=abs(x);

>> plot(x,y)

与的图像：x=-pi:0.1:pi;

y5=pi/2-4/pi*(cos(x)-cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+cos(7*x)/49+cos(9*x)/81);

>> plot(x,y5,'g')

>> hold on

>> y=abs(x);

>> plot(x,y)

与的图像：

x=-pi:0.1:pi;

>> y6=pi/2-4/pi*(cos(x)-cos(3*x)/9+cos(5*x)/25+cos(7*x)/49+cos(9*x)/81+cos(11*x)/121);

>> plot(x,y6,'k')

>> hold on

>> y=abs(x);

>> plot(x,y)

总图：

plot(x,y1)

>> hold on

>> plot(x,y2,'*')

>> hold on

>> plot(x,y3,'r')

>> hold on

>> plot(x,y4,'y')

>> hold on

>> plot(x,y5,'g')

>> hold on

>> plot(x,y6,'m')

>> hold on

plot(x,y)

练习3.1

1、画出空间曲面在范围内的图形，并画出相应的等高线。

解：程序：a=-30:1:30;

b=-30:1:30;

[x,y]=meshgrid(a,b);

z=10*sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(1+x.^2+y.^2));

meshc(x,y,z)

图像：

2、取适当的参数绘制下列曲面的图形：

（1）椭球面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=sqrt(1-(x.^2/4+y.^2/9));

>> meshc(x,y,z)

>> hold on

>> z=-sqrt(1-(x.^2/4+y.^2/9));

>> meshc(x,y,z)

（2）椭圆抛物面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=4*x.^2/9+y.^2;

>> meshc(x,y,z)

（3）单叶双曲面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=sqrt(16*x.^2/4+16*y.^2/9-16);

>> meshc(x,y,z)

>> hold on

>> z=-sqrt(16*x.^2/4+16*y.^2/9-16);

>> meshc(x,y,z)

（4）双曲抛物面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=x.^2/3-y.^2/3;

>> meshc(x,y,z)

（5）马鞍面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=x*y;

>> meshc(x,y,z)

（6）旋转面

解：a=-30:1:30;

>> b=0:0.1:30;

>> [y,z]=meshgrid(a,b);

>> x=sqrt(log(z)-y.^2);

>> meshc(x,y,z)

>> hold on

>> x=-sqrt(log(z)-y.^2);

>> meshc(x,y,z)

（7）圆锥面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=sqrt(x.^2+y.^2);

>> meshc(x,y,z)

>> hold on

>> z=-sqrt(x.^2+y.^2);

>> meshc(x,y,z)

（8）环面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=sqrt(1-(1-sqrt(x.^2+y.^2)).^2);

>> meshc(x,y,z)

>> hold on

>> z=-sqrt(1-(1-sqrt(x.^2+y.^2)).^2);

>> meshc(x,y,z)

（9）正螺面

解：a=-30:1:30;

>> b=-30:1:30;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=atan(x./y);

>> meshc(x,y,z)

练习3.2

1、作图表示函数沿轴方向的梯度。

解：a=-1:0.1:1;

>> b=0:0.1:2;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

>> [px,py]=gradient(z,0.1,0.1);

>> contour(a,b,z)

>> hold on

>> quiver(a,b,px,py)

图形：

2、作出函数的图，观察极值点的位置并找出。

解：a=-2:0.1:1;

>> b=-7:0.1:1;

>> [x,y]=meshgrid(a,b);

>> z=y.^3/9+3*x.^2.*y+9*x.^2+y.^2+x.*y+9;

>> plot3(x,y,z)

>> grid on

图像：

极小值：fun=@(t)t(2)^3/9+3*t(1)^2*t(2)+9*t(1)^2+t(2)^2+t(1)*t(2)+9;

>> [x,f]=fminsearch(fun,[-1,-5])

x =

1.0e-004 *

-0.1805 0.3409

f =9.0000

极大值：

fun=@(t)[-(t(2)^3/9+3*t(1)^2*t(2)+9*t(1)^2+t(2)^2+t(1)*t(2)+9)];

>> [x,f]=fminsearch(fun,[0,-5])

x =

-0.3333 -6.0000

f =22.0000

3、求函数在圆周上的最值。

解：依题意可得：[x,y]=meshgrid(-2*pi:0.2:2*pi);

>> z=x.^2+2*y.^2;

>> plot3(x,y,z)

>> hold on

>> ezplot('x^2+y^2-1',[-2*pi,2*pi])

grid on

>>

满足题意的最值为：fun=@(t)[t(1)^2+2*t(2)^2,];

>> [x,f]=fminsearch(fun,[0,0])

x =

0 0

f = 0

4、求函数在平面与柱面的交线上的最大值。

解：t=0:0.03:2*pi;

>> s=[0:0.03:2*pi]';

>> x=(0*s+1)*cos(t);y=(0*s+1)*sin(t);z=s*(0*t+1);

>> mesh(x,y,z)

>> hold on

>> [x,y]=meshgrid(-1:0.1:1);

>> z=1-x+y;

>> mesh(x,y,z)

5、有一座小山，取它的底部所在的平面为平面。底部的区域为

，小山高度函数为。

（1）设,问在点沿什么方向的方向导数最大？

（2）在山脚下寻找山坡度最大的点作为攀登起点。

解：的导数：syms x y z dx dy

>> z=75-x^2-y^2+x*y;

>> zx=diff(z,x),zy=diff(z,y)

zx =-2*x+y

zy =-2*y+x

6、有一座小山，表面为，它的底部所在的平面为平面，山脚下有一个起点，现在从这个起点出发开始登山，要求登山线路和方向是沿着梯度最大的的方向前进。试着研究一下从起点到顶点的登山曲线（方程与图形）。

解：表面为的梯度：

v=-10:1:10;

>> [x,y]=meshgrid(v);

>> z=1-x.^2-2*y.^2;

>> [px,py]=gradient(z,1,1);

>> contour(v,v,z),hold on,quiver(v,v,px,py)

>> hold off

图形：

表面为的空间图：v=-10:0.1:10;

>> [x,y]=meshgrid(v);

>> z=1-x.^2-2*y.^2;

>> plot3(x,y,z)

grid on

练习3.3

1、计算数值积分

解：画图：ezplot('x^2+y^2-2*x',[-2,2])

>> grid on

求数值积分：syms x y

s=int(int(x+y+1,y,-sqrt(1-(x-1)^2),sqrt(1-(x-1)^2)),x,0,2)

s =2*pi

计算数值积分

解：syms r t

>> s=int(int(sqrt(1+r^2*sin(t)),r,0,1),t,0,2*pi)

s =

int(-1/4/pi^(1/2)/sin(t)^(1/2)*(-2*pi^(1/2)*sin(t)+(-2*log(2)-1-log(sin(t)))*pi^(1/2)-1/4*pi^(1/2)*sin(t)*(-4*csc(t)-8)-2*pi^(1/2)*sin(t)*(1+csc(t))^(1/2)-2*pi^(1/2)*log(1/2+1/2*(1+csc(t))^(1/2))),t = 0 .. 2*pi)

>> s=vpa(s)

s =[ empty sym ]

3、计算数值积分其中是平面所围成的四面体。

解：syms x y z

>> s=int(int(int(1/(1+x+y+z)^3,z,0,1-x-y),y,0,1-x),x,0,1)

s =-5/16+1/2*log(2）

4、求函数构成曲面的面积。

解：s=vpa(int(int(x*exp(-x^2-y^2),y,0,2),x,-1,10))

s =0.16224980455070416645061789474030

5、某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰清真寺，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修，国王下令将清真寺顶部重新贴金箔装饰。据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30cm。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比清真寺顶部面积多1.5%。据此，国王的财政大臣拨出了可制造5800有规定厚度金箔的黄金。建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程。但在施工前的测量中，工程师发现清真寺顶部实际上并不是一个精确的半球面，而是一个半椭球面，其半立轴恰是30，而半长轴和半短轴分别是30.6 能短缺，最后的结果究竟如何呢？

练习3.4

解下列微分方程：

（1） （要求输出点的值）；

（2），作相平面图；

（3）作 的图。

解：(1)y=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x')

y =-x-1+2*exp(x)

x=1;

y=-x-1+2*exp(x)

y =3.4366

x=2;

y=-x-1+2*exp(x)

y =11.7781

x=3;

y=-x-1+2*exp(x)

y =36.1711

求一通过原点的曲线，它在处的切线斜率等于 若的上界增为1.58,1.60，情况会怎样？

解:y=dsolve('Dy=2*x+y^2','y(0)=0')

y =tan(x^(1/2)*2^(1/2)*t)*x^(1/2)*2^(1/2)

3、已知阿波罗飞船的运动轨迹满足下面的方程：

其中，试在初值

下求解，并绘制飞船轨迹图。

肿瘤大小生长的速率与的次方成正比，其中 为形状参数，；而其比例系数随时间减小，减小速率又与当时的值成正比，比例系数为环境参数。设某肿瘤参数，的初始值为2，的初始值为1，问（1）此肿瘤生长不会超过多大？（2）过多长时间肿瘤大小翻一倍？（3）何时肿瘤生长速率有递增转为递减？（4）若参数呢？

5、第一次世界大战中，因为战争，很少捕鱼，按理战后应能捕到最多的鱼才是。可是大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民大惑不解。令为鱼饵的数量，为鲨鱼的数量，为时间。微分方程为

式中，都是正常数。第一式鱼饵的增长速度大体上与 成正比，即按比率增加，而被鲨鱼吃掉的部分按的比例减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然死亡或互相咬食，按的比率减少，但又根据鱼饵的量的变化按的比率增加，对求解。画出解曲线图和相轨线图，可以观察到鱼饵和鲨鱼的周期振荡现象。

练习4.1

1、求下列多项式得根：

（1）； （2）

解：（1） p=[5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6 8 0 0 0 -5 0 0];

>> x=roots(p)

x =

0

0

0.9768

0.9388 + 0.2682i

0.9388 - 0.2682i

0.8554 + 0.5363i

0.8554 - 0.5363i

0.6615 + 0.8064i

0.6615 - 0.8064i

0.3516 + 0.9878i

0.3516 - 0.9878i

-0.0345 + 1.0150i

-0.0345 - 1.0150i

-0.4609 + 0.9458i

-0.4609 - 0.9458i

-0.1150 + 0.8340i

-0.1150 - 0.8340i

-0.7821 + 0.7376i

-0.7821 - 0.7376i

-0.9859 + 0.4106i

-0.9859 - 0.4106i

-1.0416

-0.7927

（2）p=[8 36 54 23];

>> x=roots(p)

x =

-1.8969 + 0.6874i

-1.8969 - 0.6874i

-0.7063

2、求的商和余式：， 解：p1=[1 0 -3 -2 -1];p2=[1 -2 5];

>> [q2,r2]=deconv(p1,p2)

q2 =

1 2 -4

r2 =

0 0 0 -20 19

q2=poly2sym(q2),r2=poly2sym(r2)

q2 =x^2+2*x-4

r2 =-20*x+19

3、求最大公因式和最小公倍式，其中， ，

解：syms x

>> f=x^4+3*x^3-x^2-4*x-3;g=3*x^3+10*x^2+2*x-3;

>> p1=factor(f),p2=factor(g)

p1 =(x+3)*(x^3-x-1)

p2 =(x+3)*(3*x^2+x-1)

所以，最大公因式为：(x+3)；最小公倍式为：(x+3)*(x^3-x-1)*(3*x^2+x-1)。

4、分别在实数域上分解因式：（1）； （2）；

（3） 解：（1） syms x

>> f=x^12-1;

>> p=factor(f)

p =(x-1)*(1+x^2+x)*(1+x)*(1-x+x^2)*(1+x^2)*(x^4-x^2+1)

（2） syms x

>> f=x^4+4;

>> p=factor(f)

p =(x^2-2*x+2)*(x^2+2*x+2)

（3）syms x

>> f=x^18+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1;

>> p=factor(f)

P=

(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)*(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)

5、将分解为最简分式之和：

（1） （2）

（3） （4) 解：（1） p=[1 0 1];q=[1 0 0 0 1];

>> [a,b,r]=residue(p,q)

a =

-0.0000 - 0.3536i

-0.0000 + 0.3536i

0.0000 - 0.3536i

0.0000 + 0.3536i

b =

-0.7071 + 0.7071i

-0.7071 - 0.7071i

0.7071 + 0.7071i

0.7071 - 0.7071i

r = []

（2） p=[1];q=[1 0 0 0 1];

>> [a,b,r]=residue(p,q)

a =

0.1768 - 0.1768i

0.1768 + 0.1768i

-0.1768 - 0.1768i

-0.1768 + 0.1768i

b =

-0.7071 + 0.7071i

-0.7071 - 0.7071i

0.7071 + 0.7071i

0.7071 - 0.7071i

r = []

（3） p=[1 0 1];q=[1 1 -1 -1];

>> [a,b,r]=residue(p,q)

a =

0.5000

0.5000

-1.0000

b =

1.0000

-1.0000

-1.0000

r = []

（4）p=[1 1 0 0 0 -8];q=[1 0 -1 0];

>> [a,b,r]=residue(p,q)

a =

-4

-3

8

b =

-1

1

0

r = 1 1 1

练习4.2

1、计算下列行列式：

（1） (2)

解：（1）D=[2 1 3 1;3 -1 2 1;1 2 3 2;5 0 6 2];

>> det(D)

ans =6

（2） syms a b c d

>> D=[a 1 0 0 ;-1 b 1 0;0 -1 c 1;0 0 -1 d];

>> det(D)

ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1

证明：（1）

（2）

解：（1）syms a b c d

>> D=[1 1 1 1 ;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^3 b^3 c^3 d^3];

>> det(D)

ans =

b*c^2*d^3-b*d^2*c^3-b^2*c*d^3+b^2*d*c^3+b^3*c*d^2-b^3*d*c^2-a*c^2*d^3+a*d^2*c^3+a*b^2*d^3-a*b^2*c^3-a*b^3*d^2+a*b^3*c^2+a^2*c*d^3-a^2*d*c^3-a^2*b*d^3+a^2*b*c^3+a^2*b^3*d-a^2*b^3*c-a^3*c*d^2+a^3*d*c^2+a^3*b*d^2-a^3*b*c^2-a^3*b^2*d+a^3*b^2*c

>> simple(ans)

ans =(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)

（2）syms a b x y z

>> D=[a*x+b*y a*y+b*z a*z+b*x ;a*y+b*z a*z+b*x a*x+b*y;a*z+b*x a*x+b*y a*y+b*z];

>> det(D)

ans =

3*a^3*x*z*y+3*b^3*y*x*z-a^3*x^3-b^3*y^3-a^3*y^3-b^3*z^3-a^3*z^3-b^3*x^3

>> simple(ans)

ans =-(y+x+z)*(y^2-x*y-z*y-x*z+x^2+z^2)*(a+b)*(a^2-a*b+b^2)

syms a b x y z

>> D=[(a^2+b^2)*x (a^2+b^2)*y (a^2+b^2)*z ;y z x;z x y];

>> det(D)

ans =

3*x*a^2*z*y-a^2*x^3+3*x*b^2*z*y-b^2*x^3-a^2*y^3-b^2*y^3-a^2*z^3-b^2*z^3

>> simple(ans)

ans =-(y+x+z)*(y^2-x*y-z*y-x*z+x^2+z^2)*(a^2+b^2)

3、用克莱姆法则求解下列方程组：

（1） （2）

解：（1）D=[1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11];

>> D1=[5 1 1 1;-2 2 -1 4;-2 -3 -1 -5;0 1 2 11];

>> D2=[1 5 1 1;1 -2 -1 4;2 -2 -1 -5;3 0 2 11];

>> D3=[1 1 5 1;1 2 -2 4;2 -3 -2 -5;3 1 0 11];

>> D4=[1 1 1 5;1 2 -1 -2;2 -3 -1 -2;3 1 2 0];

>> x1=det(D1)/det(D);

>> x2=det(D2)/det(D);

>> x3=det(D3)/det(D);

>> x4=det(D4)/det(D);

>> x1,x2,x3,x4

x1 =1

x2 = 2

x3 =3

x4 =-1

（2）D=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5];

>> D1=[1 6 0 0 0;0 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;1 0 0 1 5];

>> D2=[5 1 0 0 0;1 0 6 0 0;0 0 5 6 0;0 0 1 5 6;0 1 0 1 5];

>> D3=[5 6 1 0 0;1 5 0 0 0;0 1 0 6 0;0 0 0 5 6;0 0 1 1 5];

>> D4=[5 6 0 1 0;1 5 6 0 0;0 1 5 0 0;0 0 1 0 6;0 0 0 1 5];

>> D5=[5 6 0 0 1;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 0;0 0 0 1 1];

>> x1=det(D1)/det(D);

>> x2=det(D2)/det(D);

>> x3=det(D3)/det(D);

>> x4=det(D4)/det(D);

>> x5=det(D5)/det(D);

>> x1,x2,x3,x4,x5

x1 =2.2662

x2 =-1.7218

x3 =1.0571

x4 =-0.5940

x5 =0.3188

练习4.3

1、已知,,计算

解： A=[1 2 0;3 4 -1; 1 1 -1];B=[1 2 3;-1 0 1;-2 4 -3];

>> A',2+A,2*A-B,A*B,A^2,A^(-1)

ans =

1 3 1

2 4 1

0 -1 -1

ans =

3 4 2

5 6 1

3 3 1

ans =

1 2 -3

7 8 -3

4 -2 1

ans =

-1 2 5

1 2 16

2 -2 7

ans =

7 10 -2

14 21 -3

3 5 0

ans =

-3.0000 2.0000 -2.0000

2.0000 -1.0000 1.0000

-1.0000 1.0000 -2.0000

2、A=(1,2,3),B=（2，4，3），分别计算

A*B',B'*A,A.*B,B.*A,A./B,A.\B,A/B,A\B,分析结果的意义。

解：B=[2 4 3];

>> B'

ans =

2

4

3

(1) A=[1 2 3];

>> A*B'

ans = 19

>> B'*A

ans =

2 4 6

4 8 12

3 6 9

(2) A=[1 2 3];B=[2 4 3];

>> A.*B,B.*A

ans =

2 8 9

ans =

2 8 9

(3) A=[1 2 3];B=[2 4 3];

>> A./B,A.\B

ans =

0.5000 0.5000 1.0000

ans =

2 2 1

(4)A=[1 2 3];B=[2 4 3];

>> A/B,A\B

ans = 0.6552

ans =

0 0 0

0 0 0

0.6667 1.3333 1.0000

分析：（1）A*B'得到的是一个数，而B'*A得到的是一个矩阵。

（2）A.*B,B.*A表示的都是矩阵里面两个数相乘。

（3） A./B表示用A中的每一个元素去除以B中的每一个 元素，而 A.\B表示用B中的每一个元素去除以A中的每一个元素。

（4）A/B,A\B分别表示右除和左除。

3、利用逆矩阵求解下列矩阵方程。

(1) (2)

解：（1）A=[0 1 0;1 0 0;0 0 1];B=[1 0 0;0 0 1;0 1 0];C=[1 -4 3;2 0 -1;1 -2 0];

>> A^(-1),B^(-1),X=A^(-1)*C*B^(-1)

ans =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

ans =

1 0 0

0 0 1

0 1 0

X =

2 -1 0

1 3 -4

1 0 -2

(2)原方程组可改写为，即

A=[1 2 3;2 2 3;3 5 1];B=[1 0 0;2 0 0;3 0 0];

>> A^(-1),x=A^(-1)*B

ans =

-1.0000 1.0000 0.0000

0.5385 -0.6154 0.2308

0.3077 0.0769 -0.1538

x =

1.0000 0 0

0 0 0

0.0000 0 0

4、已知矩阵A的伴随矩阵A*=,且=,求B.

解：由已知=等式两边左乘A*, 右乘A, 得

|A|B = A*B+3|A|E因为 ,所以|A*| = 8 = |A|^3所以 |A| = 2所以 2B = A*B+6E所以 (2E-A*)B = 6E,则B=

C=[1 0 0 0;0 1 0 0;1 0 1 0;0 -3 0 8];

>> det(C)

ans =8

C=[1 0 0 0;0 1 0 0;1 0 1 0;0 -3 0 8];

>> B=6*(2-C)^(-1)

B =

-6.0000 4.1250 3.0000 0.3750

0 -1.8750 3.0000 0.3750

6.0000 0 -6.0000 0

0 -0.1875 1.5000 -0.5625

5、设,其中,,求

解：p=[1 1 1;1 0 -2;1 -1 1];b=[-1 0 0;0 1 0;0 0 5];

>> p^(-1),A=p*b*p^(-1)

ans =

0.3333 0.3333 0.3333

0.5000 0 -0.5000

0.1667 -0.3333 0.1667

A =

1.0000 -2.0000 -0.0000

-2.0000 3.0000 -2.0000

-0.0000 -2.0000 1.0000

c=A^8*(5-5*A+A^2)

c =

5.0000 7.0000 9.0000

7.0000 7.0000 7.0000

9.0000 7.0000 5.0000

练习4.4

1、求解下列线性方程组，如果无解请解出其最小二乘解，如果无穷解请写出通解。

（1） （2）

（3） （4）

解：（1）A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0];

>> b=[2;10;8];

>> B=[A,b];

>> rank(A),rank(B)

ans = 2

ans =3

>> x=A\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x =

NaN

Inf

Inf

x1=null(A)

x1 =

-0.1978

0.7253

0.6594

（2）A=[2 1 -1 1;3 -2 1 -3;1 4 -3 5];

>> b=[1;4;-2];

>> B=[A,b];

>> rank(A),rank(B)

ans =2

ans =2

>> x=A\b

Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 5.2545e-015.

x =

0.7778

0

0

-0.5556

÷（3） A=[ 1 1 1 1 ;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11];

>> b=[5;-2;-2;0];

>> B=[A,b];

>> rank(A),rank(B)

ans =4

ans =4

>> x=A\b

x =

1.0000

2.0000

3.0000

-1.0000

（4）A=[ 1 1 2 -1 ;2 1 1 -1;2 2 1 2];

>> b=[0;0;0];

>> B=[A,b];

>> rank(A),rank(B)

ans =3

ans =3

>> x=A\b

x =

0

0

0

0

2、当为何值时下面的方程组有解，并解出其所有解。

解：syms a

>> A=[-2 1 1;1 -2 1;1 1 -2];

>> b=[-2;a;a^2];

>> B=[A,b];

>> rank(A),rank(B)

ans =2

ans =3

>> x=A\b

Warning: System is inconsistent. Solution does not exist.

> In sym.mldivide at 32

x =

Inf

Inf

Inf

>> x1=null(A)

x1 =

-0.5774

-0.5774

-0.5774

3、当为何值时下面的方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）无穷多解，并解出其所有解。

解： syms a

>> A=[a 1 1;1 a 1;1 1 a];

>> b=[1;a;a^2];

>> B=[A,b];

>> rank(A),rank(B)

ans =3

ans =3

练习4.5

1、求下列矩阵的全部特征值和特征向量。

（1） (2)

(3) (4)

(5) (6)阶方阵,.

解：（1）A=[0 1;-1 0];

>> [a,b]=eig(A)

a =

0.7071 0.7071

0 + 0.7071i 0 - 0.7071i

b =

0 + 1.0000i 0

0 0 - 1.0000i

(2) A=[0 0 1;0 1 0;1 0 0];

>> [a,b]=eig(A)

a =

0.7071 0.7071 0

0 0 -1.0000

-0.7071 0.7071 0

b =

-1 0 0

0 1 0

0 0 1

（3）A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];

>> [a,b]=eig(A)

a =

0.0185 -0.9009 -0.3066

-0.7693 -0.1240 -0.7248

-0.6386 -0.4158 0.6170

b =

-3.0527 0 0

0 3.6760 0

0 0 8.3766

（4）A=[1 1 1 1;1 1 -1 -1;1 -1 1 -1;1 1 -1 1];

>> [a,b]=eig(A)

a =

-0.5615 0.7071 0.3366 0.1904

0.5615 -0.0000 -0.3366 -0.0000

0.5615 -0.0000 -0.3366 0.7828

0.2326 0.7071 0.8125 -0.5924

b =

-1.4142 0 0 0

0 2.0000 0 0

0 0 1.4142 0

0 0 0 2.0000

（5） A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];

>> [a,b]=eig(A)

a =

0.8304 0.0933 0.3963 0.3803

-0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286

-0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520

0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209

b =

0.0102 0 0 0

0 0.8431 0 0

0 0 3.8581 0

0 0 0 30.2887

（6）当时：

A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0 ;0 1 5 6 0 ;0 0 1 5 6 ;0 0 0 1 5 ];

>> [a,b]=eig(A)

a =

-0.7843 -0.7843 -0.9237 0.9860 -0.9237

0.5546 -0.5546 -0.3771 -0.0000 0.3771

-0.2614 -0.2614 0.0000 -0.1643 -0.0000

0.0924 -0.0924 0.0628 -0.0000 -0.0628

-0.0218 -0.0218 0.0257 0.0274 0.0257

b =

0.7574 0 0 0 0

0 9.2426 0 0 0

0 0 7.4495 0 0

0 0 0 5.0000 0

0 0 0 0 2.5505

当时：

2、判断第一题中各小题是否可以相似对角化，如果可以，试求出对角矩阵和对应的（正交的）相似变换矩阵。

解：（1） A=[0 1;-1 0];

[a,b]=eig(A)

a =

0.7071 0.7071

0 + 0.7071i 0 - 0.7071i

b =

0 + 1.0000i 0

0 0 - 1.0000i

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

-0.7071 -0.7071

0 - 0.7071i 0 + 0.7071i

B =

0 + 1.0000i 0 - 0.0000i

0 - 0.0000i 0 - 1.0000i

ans =

1.0000 0 + 0.0000i

0 - 0.0000i 1.0000

>> inv(a)*A*a

ans =

0 + 1.0000i 0 - 0.0000i

0 + 0.0000i 0 - 1.0000i

（2） A=[0 0 1;0 1 0;1 0 0];

[a,b]=eig(A)

a =

0.7071 0.7071 0

0 0 -1.0000

-0.7071 0.7071 0

b =

-1 0 0

0 1 0

0 0 1

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

-0.7071 0 -0.7071

0 -1.0000 0

0.7071 0 -0.7071

B =

-1.0000 0 0.0000

0 1.0000 0

0.0000 0 1.0000

ans =

1.0000 0 0.0000

0 1.0000 0

0.0000 0 1.0000

>> inv(a)*A*a

ans =

-1 0 0

0 1 0

0 0 1

（3） A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];

[a,b]=eig(A)

a =

0.0185 -0.9009 -0.3066

-0.7693 -0.1240 -0.7248

-0.6386 -0.4158 0.6170

b =

-3.0527 0 0

0 3.6760 0

0 0 8.3766

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

0.5714 -0.0528 -0.8189

0.7358 0.4749 0.4828

0.3635 -0.8784 0.3102

B =

1.5253 3.2729 -5.0768

2.1089 7.2661 0.5939

-2.3173 0.4207 0.2085

ans =

1.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 1.0000

>> inv(a)*A*a

ans =

-3.0527 -0.0000 -0.0000

0.0000 3.6760 0.0000

-0.0000 -0.0000 8.3766

（4） A=[1 1 1 1;1 1 -1 -1;1 -1 1 -1;1 1 -1 1];

[a,b]=eig(A)

a =

-0.5615 0.7071 0.3366 0.1904

0.5615 -0.0000 -0.3366 -0.0000

0.5615 -0.0000 -0.3366 0.7828

0.2326 0.7071 0.8125 -0.5924

b =

-1.4142 0 0 0

0 2.0000 0 0

0 0 1.4142 0

0 0 0 2.0000

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

-0.4405 0.4600 0.6627 0.3939

0.2574 -0.5211 0.0500 0.8122

0.4947 -0.2680 0.7372 -0.3741

-0.7035 -0.6671 0.1217 -0.2125

B =

1.3986 1.6704 -0.1907 -1.0606

0.5937 -0.9766 0.4050 -1.4062

-0.0577 0.3449 1.9516 0.2392

-0.0271 -0.1011 0.0202 1.6265

ans =

1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

>> inv(a)*A*a

ans =

-1.4142 0.0000 -0.0000 0.0000

0.0000 2.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 1.4142 -0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 2.0000

（5） A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];

[a,b]=eig(A)

a =

0.8304 0.0933 0.3963 0.3803

-0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286

-0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520

0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209

b =

0.0102 0 0 0

0 0.8431 0 0

0 0 3.8581 0

0 0 0 30.2887

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

0.1208 -0.5407 -0.0586 -0.8304

-0.0002 -0.8048 0.3174 0.5016

0.8164 -0.0802 -0.5325 0.2086

0.5647 0.2314 0.7825 -0.1237

B =

20.0875 -11.5916 6.3096 0.0000

-11.5916 11.9906 -3.8005 -0.0000

6.3096 -3.8005 2.9118 0.0000

0.0000 -0.0000 0.0000 0.0102

ans =

1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

>> inv(a)*A*a

ans =

0.0102 -0.0000 0.0000 0.0000

-0.0000 0.8431 0.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 3.8581 0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 30.2887

（6）当时：

A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0 ;0 1 5 6 0 ;0 0 1 5 6 ;0 0 0 1 5 ];

[a,b]=eig(A)

a =

-0.7843 -0.7843 -0.9237 0.9860 -0.9237

0.5546 -0.5546 -0.3771 -0.0000 0.3771

-0.2614 -0.2614 0.0000 -0.1643 -0.0000

0.0924 -0.0924 0.0628 -0.0000 -0.0628

-0.0218 -0.0218 0.0257 0.0274 0.0257

b =

0.7574 0 0 0 0

0 9.2426 0 0 0

0 0 7.4495 0 0

0 0 0 5.0000 0

0 0 0 0 2.5505

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

-0.9978 -0.0000 0.0659 -0.0000 -0.0009

0.0000 -0.9980 -0.0000 0.0627 0.0000

-0.0658 0.0000 -0.9970 0.0000 -0.0414

0.0000 -0.0627 -0.0000 -0.9980 -0.0000

-0.0036 0.0000 -0.0412 -0.0000 0.9991

B =

5.0000 6.0658 -0.0000 0.0184 0.0000

1.3954 5.0000 5.9823 -0.0000 -0.1243

-0.0000 0.9778 5.0000 5.9736 0.0000

0.0001 -0.0000 0.8713 5.0000 -5.9574

0.0000 -0.0004 0.0000 -0.7523 5.0000

ans =

1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

>> inv(a)*A*a

ans =

0.7574 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

-0.0000 9.2426 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 7.4495 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 5.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 2.5505

3、求一个正交变换将下列二次型化为标准型。

（1）

（2）

解：（1）二次型的矩阵为

输入命令：A=[2 0 0;0 3 2;0 2 3];

>> [a,b]=eig(A)

a =

0 1.0000 0

-0.7071 0 0.7071

0.7071 0 0.7071

b =

1.0000 0 0

0 2.0000 0

0 0 5.0000

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

-1.0000 0 -0.0000

0.0000 0.7071 0.7071

-0.0000 -0.7071 0.7071

B =

2.0000 0.0000 0.0000

0.0000 1.0000 0

0.0000 0 5.0000

ans =

1.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000

(2)二次型的矩阵为

输入命令： A=[1 1 0 -1;1 1 -1 0;0 -1 1 1;-1 0 1 1];

>> [a,b]=eig(A)

a =

-0.5000 0.7071 0.0000 0.5000

0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000

0.5000 0.7071 -0.0000 -0.5000

-0.5000 0 0.7071 -0.5000

b =

-1.0000 0 0 0

0 1.0000 0 0

0 0 1.0000 0

0 0 0 3.0000

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

-0.5000 0.1442 -0.6624 -0.5389

0.5000 -0.2251 0.2281 -0.8046

0.5000 0.8405 -0.2079 0.0166

-0.5000 0.4712 0.6826 -0.2490

B =

-1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 1.9697 0.6329 0.7736

0.0000 0.6329 1.4131 0.5049

0.0000 0.7736 0.5049 1.6172

ans =

1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

4、求一个正交变换将下面的二次曲面的方程化为标准方程。

解：二次型的矩阵为

输入命令：A=[3 2 -2;2 5 -5;-2 -5 5];

>> [a,b]=eig(A)

a =

0.0000 0.9428 -0.3333

0.7071 -0.2357 -0.6667

0.7071 0.2357 0.6667

b =

0.0000 0 0

0 2.0000 0

0 0 11.0000

>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'

P =

-0.0000 -0.3333 -0.9428

-0.7071 -0.6667 0.2357

-0.7071 0.6667 -0.2357

B =

0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 11.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 2.0000

ans =

1.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 1.0000

练习5.1

1、仿照本节的例子，分别画出二项分布 7.0,20B的分布规律和分布函数的图形，通过观察图形，进一步理解二项分布的性质。 解：分布规律编程作图：>> x=0:1:20;>>y=binopdf(x,20,0.7);

>> plot(x,y,'*') 图像：

分布函数编程作图：>> x=0:0.01:20; >>y=binocdf(x,20,0.7);

>> plot(x,y) 图像：

观察图像可知二项分布规律图像像一条抛物线，其分布函数图像呈阶梯状

2、仿照本节的例子，分别画出正态分布 2 5,2N的概率密度函数和分布函数的图形，通过观察图形，进一步理解正态分布的性质。

解：1）概率密度函数编程作图：>> x=-10:0.01:10;

>> y=normpdf(x,2,5); >> plot(x,y) 图像：

2) 分布函数编程作图：>> x=-10:0.01:10; >> y=normcdf(x,2,5); >> plot(x,y) 图像：

3、设X~N(0,1)，通过分布函数的调用计算p{-1

解：编程求解：

>>x1=normcdf(1)-normcdf(-1),x2=normcdf(2)-normcdf(-2),x3=normcdf(3)-normcdf(-3)

x1 = 0.6827

x2 = 0.9545

x3 = 0.9973 .

4、设 7.0,20~BX,通过分布函数的调用计算 10 XP与 10 XP.

解：编程求解：>> x1=binopdf(10,20,0.7),x2=binocdf(10,20,0.7)-binopdf(10,20,0.7)

x1 = 0.0308

x2 = 0.0171

5、设 8~PX,求：（1） 4 XP;(2) 52 XP.

解：（1）编程求解：>> p=poisscdf(4,8)

p = 0.0996

（2）编程求解：>> p=poisscdf(5,8)-poisscdf(2,8)

p = 0.1775

6、（1）设 1,0~NX,求01.0z；（2）对2 分布，求 82 05.0 ； （3）对 1305.0t；（4）对F分布，求 10,1505.0F。

解：（1）编程求解：>> norminv(0.99)

ans = 2.3263

（3）编程求解：>> chi2inv(0.95,8)

ans = 15.5073

（3）编程求解：>> tinv(0.95,13)

ans = 1.7709

4）编程求解：>> finv(0.95,15,10)

ans = 2.8450

7、分别生成26 个和16 个均匀分布 1,0U的随机数。 解：编程求解：>> A=unifrnd(0,1,6,2),B=rand(6,1)

练习5.2（看书得）

1、n=10000;m=0;

for i=1:n

x=randperm(2)-1;y=x(1);

if y==0;

m=m+1;

end

end

m/n

练习5.3

1.设,求该均匀分布的均值和方差。

解：[m,v]=unifstat(1,11)

m =6

v =8.3333

2.设，求该正态分布的均值、标准差和方差。

解：[m,v]=normstat(0,16)

m =0

v =256

s=sqrt(v)

s =16

3.生成6列服从标准正态分布的随机数，每列200个数，每列中，标准差的均值都为1.

解： x=randn(200,6);

s=std(x)

s =

1.0507 0.9794 1.0280 0.9955 1.0697 1.0615

或

x=normrnd(0,1,200,6);

s=std(x)

s =

1.0132 0.9949 0.9834 0.9468 0.9888 1.0520

4、首先生成正态分布的容量为300的随机数的样本，然后画正态分布的直方图。

解：x=normrnd(0,16,300,1);

hist(x,10)

练习5.4（看书得）

练习5.5

1.水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量是50kg，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下：49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2.设每袋重量服从正态分布，问包装机工作是否正常？（取显著性水平05.0 .）

解：假设检验：H0：a=50 H1:a1不等50

编程如下：>> x=[49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2];

>> [h,sig,ci]=ttest(x,50)

h = 0

sig = 0.5911

ci = 49.4878 50.3122

检验结果为： ①布尔值h=0说明表示在显著性水平为0.05下接受原假设0H，说明包装机工作正常。 ②置信水平为0.95的置信区间为 3122.50,4878.49，它包含50，因此接受原假设

③05.05911.0 sig,也说明能接受“包装机正常工作”的假设。

2.某工厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差为5000的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变.现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差9200 s.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化？（取显著性水平05.0 .）

解：假设检验：H0：sig=5000 H1:sig不等5000 编程如下：建立M文件，命名为：

Untitled sigma0=5000; % 总体原始方差

sigma1=9200; % 样本方差

alpha=0.05; % 显著性水平

n=26; % 样本容量

chi2stat=(n-1)*sigma1/sigma0; % 卡方检验统计量

criticalValue1 =chi2inv(alpha/2,n-1); % 临界值 criticalValue2=chi2inv(1-alpha/2,n-1); % 临界值

if (chi2stat>criticalValue1&&chi2stat判断并显示结论

disp('接受原假设，认为方差没有改变')

else

disp('拒绝原假设，认为方差发生了改变')

end

运行M文件，得结果：拒绝原假设，认为方差发生了改变

3.某地某年高考后随机抽得15名男生、12名女生的数学考试成绩如下： 男生：119 118 117 123 121 113 109 127 116 116 112 114 125 114 110 女生：116 110 117 121 113 106 113 108 118 124 118 104 从这27名学生的成绩能说明这个地区男、女生的数学考试成绩不相上下吗？（显著性水平05.0 .）

解：假设：muci1不等muci2 验证数学成绩服从正态分布编程如下： >> x1=[119 118 117 123 121 113 109 127 116 116 112 114 125 114 110];

>> x2=[116 110 117 121 113 106 113 108 118 124 118 104];

>> subplot(1,2,1);normplot(x1);subplot(1,2,2);normplot(x2)

图像:

由于正太概率图都显示出直线形态，因此数据x1和数据x2都可以认为如从正态分布. 检验编程如下：

>> x1=[119 118 117 123 121 113 109 127 116 116 112 114 125 114 110];

>> x2=[116 110 117 121 113 106 113 108 118 124 118 104];

>> [pt,sigt]=ttest2(x1,x2)

pt = 0

sigt = 0.1945

可见，男、女生数学成绩不相上下，没有显著差异，接受假设。

4.下面列出84个伊特拉斯坎男子头颅的最大宽度（单位：mm）：141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146 150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145 请检验上述头颅的最大宽度数据是否来自正态总体？（显著性水平05.0 .） 解：编程：x=[141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146 150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145];

>> normplot(x) 图像：

由于正太概率图都显示出直线形态，因此数据x1和数据x2都可以认为如从正态分布

5.在一批灯泡中抽取300只做寿命试验，获得的数据见下表

解：编程：>> t=0:100:300;

>> h=[121 78 43 58];

>> pi=0.005*exp(-t*0.005)

pi = 0.0050 0.0030 0.0018 0.0011

>> t=[400 500 600 700];

>> sum(0.005*exp(-t*0.005))

ans = 0.0015

>> n=300;

>> sum((h-n*pi).^2/(n*pi))

ans = 8.2806e+003

>> syms x

>> ff=@(x)(chi2pdf(x,4));

>> p=quadl(ff,ans,10000)

p = 0

由于 05.00p,所以显著性水平05.0 下，这批灯泡的寿命不如从指数分布。

6.谋电话站在一个小时内接到电话用户的呼叫次数按每分钟记录如下表

解：编程求解：>> i=0:1:7;

>> ni=[8 16 17 10 6 2 1 0];

>> sum((i.*ni)./60)

ans = 2

>> pi=((2.^i)./factorial(i)).*exp(-2)

pi = Columns 1 through 6 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 Columns 7 through 8 0.0120 0.0034

>> i=[8 9 10 11 12 13 14 15];

>> sum(((2.^i)./factorial(i)).*exp(-2))

ans = 0.0011

>> n=60;

>> sum(((ni-n*pi).^2)./(n*pi))

ans = 0.4937

>> syms x

>> ff=@(x)(chi2pdf(x,8));

>> p=quadl(ff,0.4937,10)

p = 0.7348

由于 05

.07348.0p，所以显著性水平05.0 下，可以认为“在一小时接到电话用户的呼叫次数如从泊松分布。

练习5.6

1.某地区车祸次数（千次）与汽车拥有量（万辆）的11年统计数据如下表。

（1）作和的散点图；（2）如果从（1）中的散点图大致可以看出对是线性的，试求线性回归方程；（3）验证回归方程的显著性（显著性水平）；（4)假设拥有800万辆汽车，求车祸次数置信水平为0.95的预测区间。

解：（1） x=[352 373 411 441 462 490 529 577 641 692 743];

y=[166 153 177 201 216 208 227 238 268 268 274];

plot(x,y,'*')

（2）x=[352 373 411 441 462 490 529 577 641 692 743];

>> X=[ones(11,1),x'];

>> y=[166 153 177 201 216 208 227 238 268 268 274];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05)

b =

55.8527

0.3120

bint =

23.0712 88.6342

0.2506 0.3734

r =

0.3364

-19.2149

-7.0695

7.5717

16.0204

-0.7145

6.1189

2.1447

12.1791

-3.7311

-13.6412

rint =

-22.7953 23.4680

-37.2950 -1.1347

-30.9881 16.8492

-16.7413 31.8846

-5.7896 37.8305

-26.2054 24.7763

-18.9682 31.2061

-23.0862 27.3756

-10.0894 34.4475

-26.4931 19.0310

-31.5901 4.3077

stats =

0.9362 132.0614 0.0000 124.9076

线性回归方程为：y=b(1)+b(2)*x

（4）x=800;

>> y=b(1)+b(2)*x

y =305.4231

2.现对具有统计关系的两个变量的取值情况进行13次试验得到如下数据

求回归曲线方程

解：首先，令，，便把化为线性方程

。输入命令：x=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19];

>> y=[0.9397 0.9242 0.9126 0.9132 0.9091 0.9097 0.9051 0.9042 0.9042 0.9017 0.9029 0.9009 0.8993];

>> X=[ones(13,1),x'];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress((1./y)',X,0.05)

b =

1.0802

0.0019

bint =

1.0704 1.0900

0.0010 0.0027

r =

-0.0198

-0.0038

0.0080

0.0054

0.0066

0.0040

0.0058

0.0050

-0.0007

0.0005

-0.0028

-0.0042

-0.0041

rint =

-0.0271 -0.0125

-0.0196 0.0119

-0.0073 0.0234

-0.0107 0.0216

-0.0097 0.0229

-0.0129 0.0208

-0.0109 0.0225

-0.0118 0.0218

-0.0175 0.0162

-0.0161 0.0172

-0.0191 0.0134

-0.0196 0.0113

-0.0191 0.0110

stats =

0.6884 24.2977 0.0005 0.0001

>> rcoplot(r,rint)

去掉第一个点的命令：x=[ 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19];

>> y=[0.9242 0.9126 0.9132 0.9091 0.9097 0.9051 0.9042 0.9042 0.9017 0.9029 0.9009 0.8993];

>> X=[ones(12,1),x'];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress((1./y)',X,0.05)

b =

1.0874

0.0014

bint =

1.0818 1.0930

0.0009 0.0018

r =

-0.0095

0.0029

0.0008

0.0030

0.0009

0.0037

0.0034

-0.0007

0.0010

-0.0018

-0.0021

-0.0015

rint =

-0.0126 -0.0065

-0.0048 0.0105

-0.0073 0.0089

-0.0051 0.0111

-0.0076 0.0093

-0.0044 0.0118

-0.0048 0.0116

-0.0091 0.0078

-0.0073 0.0093

-0.0099 0.0063

-0.0098 0.0056

-0.0090 0.0060

stats =

0.8126 43.3662 0.0001 0.0000

所以回归线性方程为。

3.一种合金在某种添加剂的不同浓度下，各做了三次试验，得到数据

如下表：

(1)做散点图；（2）以模型拟合数据，其中与无关；（3）求回归方程并作回归分析。

解：（1）输入命令：

x=[10 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 25 30 30 30];

>> y=[25.2 27.3 28.7 29.8 31.1 27.8 31.2 32.6 29.7 31.7 30.1 32.3 29.4 30.8 32.8];

>> plot(x,y,'*')

另解：编程：

>> x1=[10 15 20 25 30];

>> y1=[25.2 29.8 31.2 31.7 29.4];

>> y2=[27.3 31.1 32.6 30.1 30.8];

>> y3=[28.7 27.8 29.7 32.3 32.8];

>> plot(x1,y1,'+',x1,y2,'o',x1,y3,'*') 图像：

编程拟合：建立M文件：fun.m

function f=fun(c,x) f=c(1)+c(2)*x+c(3)*x^2;

在命令窗口输入：

>> x=10:5:30;

>> y1=[25.2 29.8 31.2 31.7 29.4];

>> y2=[27.3 31.1 32.6 30.1 30.8];

>> y3=[28.7 27.8 29.7 32.3 32.8];

>> c0=[0.2 0.05 0.05];

>> [c,fval]=lsqcurvefit('fun',c0,x,y1,y2,y3)

c = 0.2000 0.0500 0.0500

fval = []

练习5.7（看书得）

练习6.1

练习6.2

练习6.3

练习6.4

练习6.5

1.试在以下列弧表矩阵表示的无向图中找一条从1到8点的最短路。 解：>> G=[1 2 7;1 3 8;1 4 2;1 7 4;2 3 1;2 5 2;2 8 3;3 4 4;3 5 2;3 6 7;4 6 3;4 7 6;5 6 5;5 8 1;6 7 4;6 8 3;7 8 6];

function[result,weight]=mmtree(G)

if(nargin==1)

opt=0;

end

while 1

if G(1,1)==0

A=G;

n=size(A,1);A1=A;A1(A1==inf)=0;

M=sum(sum(A1))

A1(A1==0)=M;A=A1-M*eye(n);

break

else

e=G

n=max([e(:,1);e(:,2)]);

m=size(e,1);

M=sum(e(:,3));

A=M*ones(n,n);

for k=1:m

A(e(k,1),e(k,2))=e(k,3);

A(e(k,2),e(k,1))=e(k,3);

end

A=A-M*eye(n);

end

break

end

result=[];p=1;

tb=2:length(result)~=length(A)-1;

temp=A（p,tb）;

if 0pt=0 A(e(k,1),e(k,2))=e(k,3);

end

end

2. 解：农夫第一次过河时带三只鸡过去，然后农夫一个人回来；第二次过河时带着一袋米过去，回来时带着三只鸡回来；第三次过河时带着一条狗过去，然后一个人回来；第四次过河时带着三只鸡过去。这样就可以安全过河了。

练习6.6

练习6.7

练习6.8

1.有两个煤厂A,B，每月进煤不少于60t,100t，它们担负供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月用煤量分别为45t,75t和40t.A厂离这三个居民区的距离分别为10km,5km,6km,B厂离这三个居民区的距离分别为4km,8km,15km.问这两个煤厂如何分配供煤量能使总运输量（t.km）最小。

解：设甲对三个居民区的供煤量分别为：x1,x2,x3,乙对三个居民区的供煤量分别为x4,x5,x6.由已知有： y=10x1+5x2+6x3+4x4+8x5+15x6 -x1-x2-x3<=-60, -x4-x5-x6<=-100,

x1+x4=45,

x2+x5=75,

x3+x6=40,

X1>=0,

x2>=0,

x3>=0,

x4>=0,

x5>=0,

x6>=0.

输入命令： >> c=[10 5 6 4 8 15];

A=[-1 -1 -1 0 0 0;0 0 0 -1 -1 -1;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];

b=[-60;-100;0;0;0;0];

Aeq=[1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];

>> beq=[45 75 40 0 0 0];

>> lb=ones(6,1);

>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)

Optimization terminated.

结果为： x = 1.0000 20.0000 39.0000 44.0000 55.0000 1.0000 fval =975.0000 这说明甲乙两个煤厂分别对三个居民区输送1t 20t 39t,44t 55t 1t的煤才能使总运输量最小，且总运输量为975t.km

2.解：（1）设A、B、C、D、E证券分别购进x1,x2,x3,x4,x5（单位：万元），则有：

目标函数f=0.043x1+0.0216x2+0.02x3+0.0176x4+0.045x5

s.t. –x2-x3-x4<=-400, 2x1+2x2+x3+x4+5x5<=7,

9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25, X1+x2+x3+x4+x5<=1000, 0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.

输入命令：

>> c=[-0.043 -0.0216 -0.02 -0.0176 -0.045];

>> A=[0 -1 -1 -1 0;2 2 1 1 5;9 15 4 3 2;1 1 1 1 1];

>> b=[-400;7;25;10000];

>> Aeq=[];beq=[];

>> lb=zeros(5,1);ub=[];

>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

结果为：

x = 0.0001 0.0005 0.0000 481.1525 0.0000

fval = -8.4683

所以对A、B、C、D、E证券应分别购进0.0001万元、0.0005万元、0.0000万元、481.1525万元、0.0000万元才能是所得利益最大。

(2）设A、B、C、D、E证券分别购进x1,x2,x3,x4,x5（单位：万元），则有：

目标函数

f=（0.043x1+0.0216x2+0.02x3+0.0176x4+0.045x5）*0.0275

s.t.2x1+2x2+x3+x4+5x5<=7, 9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25,

X1+x2+x3+x4+x5<=100, 0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.

输入命令：

>> A=[2 2 1 1 5;9 15 4 3 2];

>> b=[7;25];

>> Aeq=[];beq=[];

>> lb=zeros(5,1);

>> ub=[];

>>[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Optimization terminated.

结果为： x = 1.0e-008 * 0.4324 0.7401 0.0453 0.2629 0.4695

fval =1.6841e-011

以对A、B、C、D、E证券应该分别购进1.0e-008 *0.4324万元、1.0e-008 * 0.7401万元、1.0e-008 * 0.0453万元、1.0e-008 *0.2629 万元、1.0e-008 *0.4695，才能使所得利益最大

3）设A、B、C、D、E证券分别购进x1,x2,x3,x4,x5（单位：万元）

①目标函数

f1=0.045x1+0.0216x2+0.02x3+0.0176x4+0.045x5

s.t. –x2-x3-x4<=-400,

2x1+2x2+x3+x4+5x5<=7,

9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25,

X1+x2+x3+x4+x5<=1000, 0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.

输入命令：

>> c=[-0.045 -0.0216 -0.02 -0.0176 -0.045];

>> A=[0 0 -1 -1 -1;2 2 1 1 5;9 15 4 3 2;1 1 1 1 1;0 0 0 0 0];

>>b=[7;25;1000;0;0];

>> Aeq=[];beq=[];

>> lb=zeros(5,1);ub=[];

>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Optimization terminated.

x =1.0e-010 * 0.0250 0.0018 0.0263 0.0276 0.1106

fval =-7.1543e-013

由（1）知f=8.4683万元>f1=7.1543e+013万元,所以，当证券A的税前收益增加为4.5%时，不应该改变投资。

②目标函数f2=0.045x1+0.0216x2+0.0192x3+0.0176x4+0.045x5

s.t. –x2-x3-x4<=-400,

2x1+2x2+x3+x4+5x5<=7,

9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25, X1+x2+x3+x4+x5<=1000, 0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.

输入命令： >> c=[-0.043 -0.0216 -0.0192 -0.0176 -0.045]; >> A=[0 0 -1 -1 -1;2 2 1 1 5;9 15 4 3 2;1 1 1 1 1;0 0 0 0 0]; >> b=[7;25;1000;0;0]; >> Aeq=[];beq=[]; >> lb=zeros(5,1);ub=[]; >> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) Optimization terminated.

结果为： x = 1.0e-010 * 0.0250 0.0018 0.0265 0.0278 0.1104

val = -7.0816e-013 由（1）知f=8.4683万元>7.0816e+013万元，所以当证券C的税前收益减少为4.8%时，不应该改变投资

3.某厂向用户提供发电机，合同规定第一、第二、第三季度分别交货40台、60台、80台，每季度的生产费用为f(x)=ax+bx^2，其中x是该季度生产发动机的台数。若交货后有剩余，可用于下季度，但需支付存储费，每台每季度c元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无2存货。设a=50,b=0.22,c=4，问工厂应如何安排生产计划才能既满足合同要求又使总费用最低？

解：设第一、第二、第三季度分别生产x1、x2、x3台发动机，则：

f=50x1+0.22x1^2+50x2+0.22x2^2+x3+0.22x3^2+8(x1-40)+4(x2-60)

=0.22x1^2+0.22x2^2+0.22x3^2+58x1+54x2+50x3-560

s.t. x1-40+x2>=60,

x1-40+x2-60+x3=80,

40<=x1<=100,

0<=x2<=100,

0<=x3<=100.

标准形式：

s.t. –x1-x2<=-100,

x1+x2+x3=180,

40<=x1<=100,

0<=x2<=100,

0<=x3<=100.

输入命令： >> c=[58 54 50];

>> H=[0.22 0 0;0 0.22 0;0 0 0.22];

>> A=[-1 -1 0];

>> b=[-100];

>> Aeq=[1 1 1];

>> beq=[180];

>> lb=[40;0;0];

>> ub=[100;100;100];

>> [x,fval]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method. > In quadprog at 236 Optimization terminated.

结果为： x = 41.8182 60.0000 78.1818

fval = 1.0835e+004

所以工厂应该在第一、第二、第三季度分别生产42台、60台、78台发动机，才能既满足合同要求又使总费用最低。

练习6.9

1.一电路由三个电阻R1，R2，R3并联，再与电阻R4串联而成。记Rk上的电流为Ik,电压为Vk，在下列情况下确定Rk，使电路总功率最小（k=1,2,3,4）. I1=4,I2=6.I3=8,2<=Vk<=100

解：目标函数f=18v1+18v2

s.t. 2<=v1<=100

2<=v2<=100

输入命令： >> c=[18 18];

>> A=[];b=[];

>> Aeq=[];beq=[];

>> lb=[2;2];ub=[100;100];

>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Optimization terminated.

结果为： x =2.0000 2.0000

fval = 72.0000

练习6.11

1.解：（1）输入命令： >> t=[0.25 0.30 0.39 0.45 0.53]; >> V=[0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280]; >> pp=spline(t,V)

结果为：pp = form: 'pp' breaks: [0.2500 0.3000 0.3900 0.4500 0.5300] coefs: [4x4 double] pieces: 4 order: 4 dim: 1

输入命令： >> plot(t,V) 结果为：

2）输入命令：

>> t=[0.25 0.30 0.39 0.45 0.53];

>> V=[0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280];

>> pp=csape(t,V,'variational')

结果为：pp = form: 'pp' breaks: [0.2500 0.3000 0.3900 0.4500 0.5300] coefs: [4x4 double] pieces: 4 order: 4

dim: 1 输入命令： >> plot(t,V) 结果为：

解：（1）输入命令：

>> t1=0;t2=2;t3=4;t4=6;t5=8;t6=10;t7=12;t8=14;t9=15.75;

>>v1=0;v2=0.67;v3=0.85;v4=0.97;v5=1.07;v6=1.15;v7=1.22;v8=1.29;v9=1.34;

>> s=ti*v1+t2*v2+t3*v3+t4*v4+t5*v5+t6*v6+t7*v7+t8*v8+t9*v9

结果为： s = 84.4250 84.4250 84.4250 84.4250 84.4250 84.4250 84.4250 84.4250 84.4250

输入命令：

>> sum=84.4250+ 84.4250+84.4250 +84.4250+84.4250 +84.4250 +84.4250 +84.4250 +84.4250

结果为： sum =759.8250 所以汽车绕大学城形式的总路程估计为759.8250km^2

(2)

（3)输入命令： >> t=[0 2 4 6 8 10 12 14 15.75];

>> v=[0 0.67 0.85 0.97 1.07 1.15 1.22 1.29 1.34];

>> a=[0 91 144 189 229 266 300 333 360];

>> pp=spline(t,v,a)

结果为： pp = 1.0e+004 * 0 -0.0210 -0.1000 -0.2427 -0.4485 -0.7206 -1.0518 -1.4576 -1.8583