2.2 三角形中的几何计算

word/media/image2_1.png [A　基础达标]

1．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是(　　)

A．锐角三角形　　　　　　 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．与增加的长度有关

解析：选A.在△ABC中，a2＝b2＋c2，设三边增加相同长度m后，新三角形为△A′B′C′，根据余弦定理得cos A′ ＝＝>0，而角A′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.

2．在△ABC中，A＝120°，a＝，S△ABC＝，则b等于(　　)

A．1 B．4

C．1或4 D．5

解析：选C.S△ABC＝bcsin A＝bc＝，故bc＝4，①

又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝21，②

解①②组成的方程组，可得b＝1或b＝4，选C.

3．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为(　　)

A．5　　　　 B．6　　　　　

C．7　　　　 D．8

解析：选C.由题设a＋b＋c＝20， bcsin 60°＝10，

所以bc＝40.

a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.

所以a＝7.即BC边长为7.

4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为(　　)

A. B．2

C．2 D．4

解析：选B.因为S＝bcsin A，

所以＝×2csin 120°，所以c＝2，

所以a＝＝

＝2，

设△ABC外接圆的半径为R，

所以2R＝＝＝4，所以R＝2.

5．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c，a2<b2＋c2，则角A的取值范围是(　　)

A. B．

C. D．

解析：选C.因为a2<b2＋c2，所以cos A＝>0，所以A为锐角，又因为a>b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.

6．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．

解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得c2＋5c－24＝0，解得c＝3.

所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.

答案：

7．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________．

解析：由A作垂线AH⊥BC于H.

因为S△ADC＝DA·DC·sin 60°

＝×2×DC×

＝3－.

所以DC＝2(－1)，又因为AH⊥BC，

∠ADH＝60°，

所以DH＝ADcos 60°＝1，

所以HC＝2(－1)－DH＝2－3.

又BD＝CD，

所以BD＝－1，

所以BH＝BD＋DH＝.

又AH＝ADsin 60°＝，

所以在Rt△ABH中AH＝BH，

所以∠BAH＝45°.

又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，

所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，

故所求角为60°.

答案：60°

8．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．

解析：在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，

∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.

根据余弦定理得，

AC＝

＝

＝3.

S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD

＝6×3sin 60°＝9.

答案：3　9

9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．

解：连接AC，在△ACD中，

由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D

＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，

在△ABC中，

由AB＝2，BC＝4，

AC2＝28，

可得cos B

＝

＝＝－.

又0°<B<180°，故B＝120°.

所以四边形ABCD的面积

S＝S△ACD＋S△ABC

＝AD·CDsin D＋AB·BCsin B

＝×4×6sin 60°＋×2×4sin 120°＝8.

10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

解：(1)由acos C＋c＝b得

sin Acos C＋sin C＝sin B．

又sin B＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C，

所以sin C＝cos Asin C，

因为sin C≠0，所以cos A＝，

又因为0<A<π，

所以A＝.

(2)由正弦定理得b＝＝sin B，c＝sin C，

l＝a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)

＝1＋[sin B＋sin(A＋B)]

＝1＋2

＝1＋2sin.

因为A＝，所以B∈，

所以B＋∈，

所以sin∈.

故△ABC的周长l的取值范围是(2，3]．

[B　能力提升]

11．平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是(　　)

A．16 B．17.5

C．18 D．18.5

解析：选A.设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则

a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，

a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，

解得a＝5，b＝4，cos α＝，

或a＝4，b＝5，cos α＝，

所以S平行四边形ABCD＝absin α＝16.

12.如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．

解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，解得sin C＝.

答案：

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝，

(1)求sin的值；

(2)若·＝1，a＋b＝，求边c的值及△ABC的面积．

解：(1)由sin2C＋cos2C＝1，

得sin C＝.

则sin

＝sin Ccos＋cos Csin

＝×＋×＝.

(2)因为·＝||||cos C＝1，

则ab＝5.

又a＋b＝，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，则c＝5.

所以S△ABC＝absin C＝.

14.(选做题)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝km.

(1)求道路BE的长度；

(2)求生活区△ABE面积的最大值．

解：(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝，所以BD＝km.

因为BC＝CD，所以∠CDB＝∠CBD＝＝，

又∠CDE＝，所以∠BDE＝.

所以在Rt△BDE中，

BE＝＝＝(km)．

故道路BE的长度为km.

(2)设∠ABE＝α，因为∠BAE＝，

所以∠AEB＝－α.

在△ABE中，易得＝＝＝＝，

所以AB＝sin，AE＝sin α.

所以S△ABE＝AB·AEsin＝·sinsin α

＝[sin＋]≤＝(km2)．

因为0<α<，所以－<2α－<.

所以当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值，最大值为km2，故生活区△ABE面积的最大值为km2.

，针对大一的学生上大学之后存在一段的迷茫期，他们之所以迷茫，是因为他们没有奋斗的目标，是因为没有班主任在每天的早自习对他们进行了教育，以往他们的学习目标性都十分的明确，小学目的就是升入一个比较好的高中，上初中是为了上比较好的高中，上高中为了去一个比较好的大学。可真的到大学了，他们究竟应该怎么办不知道了?他们缺少一定的奋斗目标，在这个特殊的心理时期，我给他们开了主题班团会，给他们专题讲授职业生活规划，帮他们一起确定自己在大学的奋斗目标。让他们觉得原来的那个爱唠叨的班主任还在，还是有人管他们的。我个人觉得，大一时期是大学四年非常重要的一个时期，也是基础，是需要认真对待的，所以在每天固定课室的早读、晚修我都非常重视，除找同学谈心外，更有重点的进行主题教育活动，使大家尽量避免懒散，养成良好的个人学习、生活、工作习惯。所以大一，我主要是从养成教育入手，有针对性的对大一新生进行养成教育、校情校貌教育、安全教育、心理教育、适应性教育、为人处世教育等。(二)谈心工作　　大学生心理问题一直都是辅导员工作的重中之重，大学生的整合程度相对来说较低，他们个人与班级并没有联系起来的纽带，对于大学生日常生活最重要之一的教室是一个流动是场所，就像一个临时停靠站一样，在这停两站，明天又在不同的地方上课。没有固定的教室就没有一个家，个人永远是个人，他们和集体之间没有联系，更不要说纽带了，由此可以看出，缺乏一定的社会整合使大学生感觉自己没有归属感，没有集体责任感，没有了学生人人向往的家，向往的那份信念，他们没有一个统一的思想。虽然他们现在有固定的课室，但也只是相对稳定而已。　　为此我以寝室、班级、特殊学生等为单位在我的学生中进行了谈心工作，和学生们聊学习，聊生活，聊兴趣爱好，在大家发言中留意每一个学生的状况，一旦发现问题及时解决。在谈心过程中我也会和大家分享我的大学寝室生活，讲讲发生在我身边的故事，让每一名同学在寝室中首先找到自己的家，让他们觉得自己不再孤单。在开展班级团日活动、主题班会的过程中，又让同学以寝室为单位出节目，通过这一形式，让每一个寝室在班级这个集体中找到自己的归属。(三)深入沟通　　坚持“三个深入”和“两个沟通”的工作理念。三个深入”即经常深入到课堂、经常深入到寝室、经常深入到班级。“两个沟通”，即经常和学生沟通，经常和学生家长沟通。利用自己住校的便利条件，经常深入寝室，与学生进行沟通，及时发现学生在寝室生活中出现的问题，和各位班委一同解决。定期与学生家长进行电话沟通，将学生在校各方面情况向家长进行反馈，与家长一起把小孩教育好，使小孩在各方面得到很好的发展。　　管理学家说：“高级管理者，引导人的思想。低级管理者，管理人的行为。”作为一名辅导员，十分注重学生思想政治教育工作。主要从以下三个方面开展工作。(一)班委带头，学生跟进　　作为一名专职辅导员，我清楚的认识到，我所带领的不仅是普通大学生，其中绝大部分是青年团员，还有部分党员，对他们要注重政治意识的培养和提高。在新生入学不久后，他们部分参加了学院团课的学习，在第二期系举办的团学干部培训中又有一部分同学参与，通过各种学习和培训，使班级的凝聚力和向心力不断增强，使得班委在实际工作中，也得心应用，不但使每一次活动都开展的好，而且在活动过程

文明是无处不在的，它可以表现出一个人的道德修养，它可以增进人与人之间的友谊，它的作用太多太多了。那么怎样才能使小学生文明地学习生活在美丽的校园里呢? Hao are you首先，我们小学生要着装得体，符合学生身份，体现出新世纪学生蓬勃向上的风采，因为仪表、仪容、仪态可以让人一看便知道你的修养。这些芳香正来自于各种花朵，你、我便是他们中的一份子，相信自己，我们一定能行文明是无处不在的，它可以表现出一个人的道德修养，它可以增进人与人之间的友谊，它的作用太多太多了。那么怎样才能使小学生文明地学习生活在美丽的校园里呢? Hao are you首先，我们小学生要着装得体，符合学生身份，体现出新世纪学生蓬勃向上的风采，因为仪表、仪容、仪态可以让人一看便知道你的修养。这些芳香正来自于各种花朵，你、我便是他们中的一份子，相信自己，我们一定能行

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