余弦定理在生活中的应用学习报告

　　篇一：余弦定理在生活应用

　　余弦定理在生活应用

　　———感想

　　学校每年都会组织一次各科的课题研究，可以让我们学生在开放的学习情境中主动探索，亲身体验，在愉快的心情中自主学习，提高能力，同时我们可以在研究性学习中不断收获知识，得到锻炼，提升自我。

　　在数学老师的带领下，我们感兴趣同学参与调查研究了《余弦定理在生活中的应用》这一研究课题。研究性课题的内容是有关“余弦定理”的，而且我们在高中数学必修五学习过相关知识内容，如：（吧握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题）。在以前学习的过程中我们很多同学由于无法联系实际合理想象而掌握的不是很好，因此在这次研究性学习中我们都踊跃参加，希望可以在此次研究性学习中加深去理解“余弦定理应用的相关知识”，在老师的正确细心指导下我们对 本次课题有了更多的收获。

　　在研究性学习的初期阶段，，老师耐心的告诉我们只有准备充分，明确的知道自己想调查什么内容，调查的具体对象是谁，调查的目的与意义是什么，想取得什么样的调查结果，采用什么样的调查方式等等这些具体的事项，才能高效率，高质量的完成调查研究。老师的提醒使我们懂得了做事情要有条理性，而不是漫无目的去进行。比如事先要想到此次课题涉及的方面有哪些，我们可以从哪个方面入手等问题。规划问题，不同问题设计不同的解决方法，正是有了充分的准备，明确的目标，使我们在后来的实际调查中，有理有据，获得了很多的成效。

　　团队精神合作在此次研究性学习是不可缺少的，在这次研究性学习中，我们看到了合作的巨大力量。比在收集调查内容余弦定理在生活中的应用问题时。一开始大家都忙着各自分头寻找相关资料，没有分配任务，开会讨论等到组内开会召集时，才发现，不是有的资料没找到，就是同样的资料找了好几份。随后我们讨论分配了各项任务后，大家都明确了自己的任务，有的组员提前完成任务，他们也会热心主动的帮助我们的其他组员。正是因为大家共同合作，互相帮助，任务才能在失误在先的情况下完成的很好。合作的关系依然紧密，如果查找到与其他成员有关的资料，大家都会拿出来共享，正是由于这样，虽然研究任务很重，我们却也没有耽误很多学习时间。团队的精神在每个人心中，合作为了共同的目标。

　　作为学生，我们所接触到的只是书本上的知识，应该说，我们很难体会到自己现在所学习的数学知识与实际生活有什么联系。然而在这次关于余弦定理在生活的实际应用的研究中，我们发现，原来我们所学习的知识如此广泛而紧密的和我们的生活联系着。余弦定理的应用的确在我们的生活中应用广泛，然而很多问题是十分复杂的，是我们的能力无法解决的，但这并不意味着，我们就不去解决它。我们在课本上，练习册上不是也见到过许多余弦定理的问题吗，它们是怎么来的呢？是人们在大量实际观察后抽象出来的理想模型。我们需要思考的就是如何用书本上的知识解释实际中的余弦定理问题。在老师的指导后，我们又对本次研性学习产生了更深刻的认识，现在可以用它解释生活一些中的问题，在这个过程我们提高了自身的能力和知识。

　　此次研究性学习中我们增长的不光是数学知识也有团队的合作意识，它让我们得到了锻炼，无论是社会交往的能力，还是自身的学习能力都得到了巨大的提高。

　　篇二：正余弦定理在实际生活中的应用

　　正余弦定理在实际生活中的应用

　　正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.

　　求解此类问题的大概步骤为：

　　（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形；

　　（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.

　　1.测量中正、余弦定理的应用

　　例1 某观测站C在目标A南偏西25?方向，从A出发有一条南偏东35?走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解?CBD，求角B.再解?ABC，求出AC，再求出AB，从而求出AD（即为所求）.

　　解：由图知，?CAD?60?.

　　北

　　222222BD?BC?CD31?20?2123

　　cosB???，

　　A 2BC?BD2?31?2031东 2535? 3

　　. siBn? 20 BC?sinBC?24. 在?ABC中，AC?

　　sinA31

　　222

　　由余弦定理，得BC?AC?AB?2AC?AB?cosA. 即312?AB2?242?2?AB?24?cos60?.

　　整理，得AB2?24AB?385?0，解得AB?35或AB??11（舍）. 故AD?AB?BD?15（千米）.

　　答：此人所在D处距A还有15千米.

　　评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.

　　2.航海中正、余弦定理的应用

　　例2 在海岸A处，发现北偏东45?方向，距A1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75?方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以/小时

　　的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30?方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？ 分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间

　　D

　　相等，可画出示意图，需求CD的方位角及由C到D所需的航行时间.

　　解：设缉私船追上走私船所需时间为t小时，

　　则有CD?，BD?10t.

　　CB 在△

　　ABC中，∵AB?1，AC?2，

　　?BAC?45??75??120?，

　　根据余弦定理可得

　　BC?

　　ACsin120??. ?根据正弦定理可得sin?ABC?

　　BC2∴?ABC?45?，易知CB方向与正北方向垂直，从而?CBD?90??30??120?. 在△

　　BCD中，根据正弦定理可得：

　　BDsin?CBD1

　　sin?BCD???，

　　CD22∴△BCD?30?，?BDC?30?

　　，∴BD?BC?

　　?小时?分钟. 所以缉私船沿北偏东600方向，需分钟才能追上走私船.

　　评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.

　　3.航测中正、余弦定理的应用

　　例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18?30’，经过120秒后又看到山顶的俯角为81?，求山顶的海拔高度（精确到1m）.

　　分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在?ABM和Rt?BMD中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.

　　解：设飞行员的两次观测点依次为A和

　　B，山顶为M，山顶到直线的距离为MD.

　　M 如图，在△ABM中，由已知，得

　　?A?18?30’，?ABM?99?，?AMB?62?30’.

　　120

　　?6（km）, 又AB?180?

　　60?60

　　则有10t?

　　t?

　　6sin18?30’

　　，

　　sin62?30’

　　6sin18?30’sin81?

　　进而求得MD?，∴MD?2120（m）,

　　sin62?30’

　　可得山顶的海拔高度为20250?2120?18130（m）.

　　评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.

　　4.炮兵观测中正、余弦定理的应用

　　例4 我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD?6000米，?ACD?45?，?ADC?75?，目标出现于地面点B处时，测得

　　?BCD?30?，?BDC?15?（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点A、B、C、D可构成四个三角形.要求AB的长，由于?ADB?75??15??90?，只需知道AD和BD的长，这样可选择在?ACD和?BCD中应用定理求解.

　　解：在△ACD中，?CAD?180???ACD??ADC?60?， CD?6000，?ACD?45?，

　　根据正弦定理，可得BM?

　　根据正弦定理有AD?

　　CDsin45??，

　　sin60?A

　　同理，在△BCD中，

　　?CBD?180???BCD??BDC?135?， CD?6000，?BCD?30?，

　　CDsin30??.

　　sin135?又在?ABD中，?ADB??ADC??BDC?90?，

　　C? 75D 根据正弦定理有BD?

　　??.

　　6

　　所以炮兵阵地到目标的距离为米.

　　评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解.

　　5.下料中正余弦定理的应用

　　例5 已知扇形铁板的半径为R，圆心角为60?，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？

　　分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.

　　根据勾股定理有：AB??

　　P

　　O

　　（1）

　　N

　　O

　　（2）

　　解：在图

　　（1）中,在?AB上取一点P，过P作PN?OA于N，过P作PQ?PN交OB于Q，再过Q作QM?OA于M.

　　设?AOP?x，PN?Rsinx.在△POQ中，由正弦定理，得

　　OPPQ.

　　∴PQ??Rsin.

　　sinsin22

　　Rsinx?sin?R?cos?cos60?

　　? 212?R?R. 22

　　当cos?1即x?30?时，S

　　.

　　在图（2）中，取?AB中点C，连结OC，在?AB上取一点P，过P作PQ//OC交OB于Q，过P作PN?PQ交?AB于N，过Q作QM?PQ交CA于M，连结

　　于是S?PN?PQ?

　　MN得矩形MNPQ，设?POC?x，则PD?Rsinx.

　　RR

　　?在△POQ中，由正弦定理得：，

　　sinsin

　　∴PQ?2Rsin.

　　∴S?2PD?PQ?4R2sinx?sin?2R2?cos?cos30?

　　?

　　?2R2?.

　　.

　　∴PQ??3sinsin

　　22Rsinx?sin?R?cos?cos60?

　　? 33

　　212?R?R. 326

　　2R. 当cos?1即x?30?时，S

　　取得最大值6于是S?PN?PQ?

　　在图（2）中，取?AB中点C，连结OC，在?AB上取一点P，过P作PQ//OC交OB于Q，过P作PN?PQ交?AB于N，过Q作QM?PQ交CA于M，连结MN得矩形MNPQ，设?POC?x，则PD?Rsinx.

　　RR在△POQ中，由正弦定理得：， ?sinsin

　　∴PQ?2Rsin.

　　22∴S?2PD?PQ?4Rsinx?sin?2R?cos?cos30?

　　?

　　?2R2?(2R2（当x?15?时取“?”）.

　　∴当x?15?时，S

　　取得最大值(2R.

　　2

　　2R?(2?R2， ∴作?AOP?30?，按图（1）划线所截得的矩形面积最大. 评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.

　　综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.