3．1.2　成比例线段

知|识|目|标

1．通过实际数据的测量与计算，理解线段的比与成比例线段，并能判断四条线段是否成比例．

2．在理解成比例线段的基础上，进一步理解黄金分割与黄金分割比的定义．

目标一　会判断线段是否成比例

例1 教材例3针对训练判断下列长度的各组线段是否成比例．

(1)4 cm，6 cm，8 cm，2 cm；

(2)1.5 cm，4.5 cm，2.5 cm，7.5 cm；

(3)1.1 cm，2.2 cm，3.3 cm，6.6 cm；

(4)2 cm，4 cm，4 cm，8 cm.

【归纳总结】

1. 判断四条线段是否成比例的方法

方法1：先统一它们的单位，并按照从小到大的顺序排列，分别求出前面两条线段的比与后面两条线段的比．若它们的比值相等，则它们是比例线段；若它们的比值不相等，则它们不是比例线段；

方法2：若判断四条线段在同一单位下是否成比例，则只要看其中两条线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积即可．若相等，则这四条线段成比例；若不相等，则这四条线段不成比例．

2．注意：四条线段成比例有严格的顺序，各项的位置不可随意调换．若线段a，b，c，d是比例线段，则只能写成＝或a∶b＝c∶d，其中d叫作a，b，c的第四比例项．

例2 教材补充例题已知a＝4 cm，c＝9 cm，且a，b，b，c是比例线段，试求线段b的长．

【归纳总结】 利用线段的比例关系求线段长度的方法

根据线段的关系写出比例式，并把它作为等量关系构造方程，解方程即可求出所求线段的长度．

目标二　理解黄金分割与黄金分割比

例3 教材补充例题如图3－1－1，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是(　　)

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图3－1－1

A.＝ B．BC2＝AB·AC

C.＝ D.≈0.618

例4 教材补充例题一般认为，若一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图3－1－2是一个参加空姐选拔的选手的净身高情况，那么她应穿多高的鞋子才好看？(精确到1 cm)

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图3－1－2

【归纳总结】 黄金分割与黄金分割比

(1)黄金分割比是指较长线段与原线段的比(或者较短线段与较长线段的比)，其比有顺序，可简记为黄金分割比＝短∶长＝长∶全．

(2)同一线段的黄金分割点有两个．

(3)记忆：较长线段＝×全线段，较短线段＝×全线段．

知识点一　成比例线段

线段的比：一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作＝，或AB∶A′B′＝m∶n.

比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比______另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段．

知识点二　黄金分割

定义：如果点C把线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比，即使得__________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比．

比值：如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么＝＝≈0.618.

已知三条线段的长度分别是3，4，6，试给出另一条线段，使这四条线段成为比例线段．

解：设所加的线段长为x，则得到＝，解得x＝8.

上述解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解题过程．

详解详析

【目标突破】

例1　解：(1)将各线段长度从小到大排列为2 cm，4 cm，6 cm，8 cm，由于4×6≠8×2，所以这四条线段不成比例．

(2)将各线段长度从小到大排列为1.5 cm，2.5 cm，4.5 cm，7.5 cm，由于1.5×7.5＝4.5×2.5，所以这四条线段成比例．

(3)将各线段长度从小到大排列为1.1 cm，2.2 cm，3.3 cm，6.6 cm，由于1.1×6.6＝2.2×3.3，所以这四条线段成比例．

(4)将各线段长度从小到大排列为2 cm，4 cm，4 cm，8 cm，由于2×8＝4×4，所以这四条线段成比例．

例2　[解析] 若a，b，b，c是比例线段，则a∶b＝b∶c，即b2＝ac.

解：∵a，b，b，c是比例线段，

∴a∶b＝b∶c.

又∵a＝4 cm，c＝9 cm，

∴4∶b＝b∶9，即b2＝36，

∴b＝6 cm(负值已舍去)．

例3　[解析] B　∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：＝，故A正确，不符合题意；AC2＝AB·BC，故B错误，符合题意；＝，故C正确，不符合题意；≈0.618，故D正确，不符合题意．故选B.

例4　[解析] 根据黄金分割的概念，可以知道黄金分割点把一条线段分成两部分，其中较短线段与较长线段的比约是0.618.因此，可以建立方程解决问题．

解：设她应穿x cm高的鞋子．根据题意，得

≈0.618，解得x≈10.

答：她应穿10 cm高的鞋子才好看．

【总结反思】

[小结]　知识点一　等于

知识点二　＝

[反思] 解：不正确．理由：因为x的长度不定，所以比例式就不能确定，应分情况讨论．正确解法如下：设所加的线段长是x，则＝或＝或＝，解得x＝8或x＝或x＝2.故另一条线段的长为8或或2.