各种分布
Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布。
泊松分布的概率函数为:
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积、单位体积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
特征函数为:
泊松分布与二项分布
当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时,就可以用泊松公式近似得计算。
事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的。
泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说,若 ,其中n很大,p很小,因而 不太大时,X的分布接近于泊松分布 。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。
应用示例
泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,某放射性物质发射出的粒子,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
卡方分布 ( 分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。n 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为n 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。
若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布(chi-square distribution),即 分布(chi-square distribution),其中参数n称为自由度。正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样,自由度不同就是另一个 分布。记为 或者 。
卡方分布与正态分布
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布,当自由度n很大时, 分布近似为正态分布。对于任意正整数x, 自由度为 k的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
期望和方差
分布的均值为自由度 n,记为 E( ) = n。 分布的方差为2倍的自由度(2n),记为 D( ) = 2n。
均匀分布(Uniform Distribution)是概率统计中的重要分布之一。
顾名思义,均匀,表示可能性相等的含义。
(1) 如果 ,则称X服从离散的均匀分布。
(2) 设连续型随机变量X的概率密度函数为,则称随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,记为X~U(a,b)。
均值
,即数学期望位于区间(a,b)的中间。
方差
。
一个离散型机率分布,是二项分布的特殊情况。
伯努利分布是一种离散分布,有两种可能的结果。1表示成功,出现的概率为p(其中0 。0表示失败,出现的概率为q=1-p。 分布律: 性质 均值:E(X)=p。 方差:var(X)=p(1-p)。 二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布。 概率为: 期望与方差 E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np. D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p). 分布区别 两点分布又称伯努利分布。 两点分布的分布列就是 x 0 1 P 1-p p 而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的。 两点分布是一种特殊的二项分布。 二项分布是离散型分布,概率直方图是跃阶式的。因为x为不连续变量,用概率条图表示更合适,用直方图表示只是为了更形象些。 1.当p=q时,图形是对称的。 2.当p≠q时,直方图呈偏态,p 0—1分布就是n=1情况下的二项分布。即只先进行一次事件试验,该事件发生的概率为p。不发生的概率为q=1-p。这是一个最简单的分布,任何一个只有两种结果的随机现象。 记法:X~B(x,p) x为0或1。 设离散型随机变量的分布律为 ,其中k=0,1。 p为k=1时的概率(0 ,则称X服从0-1分布,0-1分布又叫 两点分布。 期望与方差 E(X)=p ,D(X)=pq 钟形分布、U形分布、J形分布 其中钟形分布可分为正态分布和偏态分布。 众数 算数平均数与中位数和众数的关系 偏度 峰度 连续型随机变量取一个固定的点的概率为0。 简单随机抽样的方法有 重复抽样 与 不重复抽样 两种。 大数定理 大数定理又称大数法则。人们在观察个别事物时,是连同一切个别的特性来观察的。个别现象受偶然因素影响,有各自不同的表现。但是,对总体的大量观察后进行平均,就能使偶然因素的影响相互抵消,抵消大部分偶然因素,从而使总体平均数稳定下来,反映出事物变化的一般规律,这就是大数定理的意义。 点估计 点估计就是根据总体参数与样本统计量之间的内在联系,直接以样本统计量作为相应总体参数的估计量,点估计又称为定值估计。 在统计中经常使用的点估计量有: 点估计优良性包括三条标准:无偏性、有效性和一致性。 无偏性: 有效性: 一致性: 区间估计 平均数的区间估计 正态分布、总体方差 正态分布、总体方差 总体成数的区间估计 一般假设检验的步骤: 1、提出原假设( 2、构造检验统计量; 原假设与备择假设确定之后,我们要构造一个统计量来决定是否拒绝原假设接受备择假设。如果服从正态分布,则可构造如下检验统计量Z: 3、确定拒绝域; 4、计算检验统计量的样本观测值; 5、做出结论。 宁愿弃真也不要取伪。二项分布
与p>q的偏斜方向相反。如果n很大,即使p≠q,偏态逐渐降低,最终成正态分布,二项分布的极限分布为正态分布。故当n很大时,二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定:当p
且np≥5,或p>q且nq≥5,这时的n就被认为很大,可以用正态分布的概率作为近似值了。
0—1分布
频数分布类型
偏度和峰度
离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率分布
抽样分布
大数定理和中心极限定理
参数估计
假设检验
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