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第３２卷第２期　２０１４年ｏ３月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．２　Ｍ８１＂．　２０１４　文章编号：１００８—１４０２（２０１４】０２—０３１０—０３　多项式根的友矩阵估计方法①　徐鑫，郑圣明　（安徽大学数学科学学院．安徽合肥２３０６０１）　摘要：运用矩阵理论中的友矩阵及矩阵范数等知识，估计了一元实系数多项式根的模的几个　上下界．　关键词：　多项式；友矩阵；矩阵范数；谱半径　中图分类号：Ｏ１５１．１　文献标识码：Ａ　０　引　言　对于一元／７，次实系数多项式　ｎ　ｄｅｔ（Ａ厶一４ｒ）＝　Ａ）＝Ａ　＋￣／＇ｎ－ＩＡｎ　＋…＋ｎ１Ａ＋ｎｏ　其中，Ｌ为ｎ阶单位阵．由此可见，多项式（２）的根　的估计问题等价于其友矩阵Ａ，的特征值的估计问　题．关于矩阵特征值的分布，有以下著名的　Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ圆盘定理．　厂（Ａ）＝　ａｋＡ　（口　≠０，ｎ≥２）　ｋ　。一＝０　一（１）　代数基本定理…揭示其在复数域Ｃ内至少有　根，然而并没有给出根的具体表达式．实际上，　Ａｂｅｌ和Ｇａｌｏｉｓ的工作表明，５次及以上的一般的一　元多项式不存在根式解－６　Ｊ．因此，多项式根的范围　的估计便成为了研究的热点，这方面的估计成果十　分丰富，经典的结论有Ｓｔｕｒｍｌ３　定理，再如　等．　矩阵的特征值是基本且重要的概念，其求解问　题实质上是多项式的求根问题，在矩阵理论中有着　引理１（Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ圆盘定理）　给定ｎ阶　复方阵Ａ＝（口　）…，在平面上作闭圆盘：　＝｛Ａ∈ｃ　ｌｌ　Ａ一　ｌ≤∑‘　ｌ一　｝　＝｛Ａ∈ｃ　ｌ　ＩＡ一　Ｉ≤∑Ｉ口茸ｌ一　｝　）ｎ　Ｊ　１　其中１≤　≤１７，则方阵Ａ的特征值必落在（　（，　独特的研究方法．对特征值最经典的估计当数　Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ圆盘定理，近年来新的估计层出不穷，　如文献［８］等．矩阵是个强有力的工具．本文将用　多项式的友矩阵把多项式与矩阵统一起来，主要给　出一元实系数多项式根的模的几个上界．　）中・　引理２　Ｉ１，阶复矩阵Ａ的谱半径为ｐ（Ａ），ｌｌＡ　ｌｌ　为Ａ的任—相容的矩阵范数，则ｐ（Ａ）≤ｌｌ　ｌＩ．　引理３¨　设　，　分别是　×ｍ，ｍ×／７，级矩　阵，则　Ａ　ｄｅｔ（ＡＬ—ＡＢ）＝Ａ　ｄｅｔ（　—ＡＢ）　引理４（Ｗｅｙｌ定理）　设Ａ１≥Ａ２≥…≥　１　准备知识　为了方便，我们讨论首一多项式　厂（Ａ）＝Ａ　＋Ｏ，ｎ＿１Ａ“＋…＋口０（ｎ≥２）（２）　定义　多项式（２）的友矩阵为　Ｏ　１　０　０　ｌ　：　●　Ａ　，　≥　：≥…≥　分别是ｎ阶实对称方阵Ａ和　的／７，个特征值，　１≥口２≥…≥　是Ａ＋　的／７，个　特征值，则有Ａ　＋　≤　≤Ａ。＋　ｌ　０　一口ｏ　０　０　一口１　一口２　Ａ，：　０　：　●　２　主要结果　定理１　记　Ｏ　０　Ｏ　Ｏ　０　１　一口　２　一＝ｍａｘ｛Ｉ％ｌ，１＋Ｉ口１　Ｉ，…，１＋ｌ口　一ｌ　—一口　１　一ｌ　易知，　的特征多项式正是　Ａ），即　①ｍａｘ｛１，∑Ｉ　ｏｉ　ｌ｝　ｉ＝０　收稿日期：２０１３—１２一ｏ４　基金项目：安徽省自然科学基金（１２０８０８５ＭＡ０２），国家级大学生创新训练项目（ＣＸ（：ｙ２０１２００４）　作者简介：徐鑫（１９９２一），男，安徽巢湖人，安徽大学数学科学学院，研究方向为代数学．　
第２期　徐　鑫，等：多项式根的友矩阵估计方法　３ｌｌ　则多项式（２）的根Ａ。满足　Ｉ　Ａｏ　Ｉ≤ｒａｉｎ｛　，　／｝　（３）　证明：　对于，（Ａ）的友矩阵应用引理１，则一　方面Ａｒ的特征值落在行圆盘的并．　ｃｊ中，即Ｉ　Ａ。　ｌ≤ｌ　ｆｉ０　Ｉ，Ｉ　Ａｏ　Ｉ≤１＋Ｉ　ｆｉ１　Ｉ，…，Ｉ　Ａｏ　Ｉ≤１＋ｌ口　一ｌ　ｌ，ｌ　Ａ０＋口　Ｉ≤１中至少有一个不等式成立．注意　到若Ｉ　Ａ０＋ｆｉ　Ｉ≤１成立，则Ｉ　Ａｏ　Ｉ≤１＋ｌ　８　一ｌ　ｌ　必成立．故知Ｉ　Ａ０　ｌ≤ｍａｘ｛Ｉ口０　Ｉ，１＋Ｉ　ｆｉ１　ｌ，…，１＋Ｉ　ａ　一ｌ　Ｉ｝，即ｌ　ｏ　Ｉ≤　另一方面，Ａ，的特征值Ａ。必落在列圆盘的并　Ｌ｛　中，同样知ｌ　Ａｏ　Ｉ≤　，从而ｌ　Ａｏ　Ｉ≤　．ｍｉｎ｛　，　，｝证毕．　推论１　多项式（２）的根Ａ。满足　ｌ　Ａ０　Ｉ≤１＋ｍａｘ｛Ｉ口‘Ｉ｝　（４）　证明：　注意到　ＩｎａｘｌＩ　ａｏ　Ｉ，１＋Ｉ口ｌ　。，１＋　Ｉ　ｆ≤１＋。　１｛　ｌ｝　由定理１即得到（４）．　推论１是多项式根模的估计中的一个基本结　论，最早由Ｃａｕｃｈｙ得到．而对于一般的多项式（１），　对口　Ａ）运用定理１有如下的结果：　推论２　多项式（１）的根Ａ。满足　ｔ　Ａｏ　Ｉ≤ｍａｘ。等　等，…　（５）　上面利用圆盘定理估计了根模．接下来基于引　理２利用矩阵范数估计根模．　矩阵的行范数ＩＩ　Ａ　Ｉ　Ｉ＝　ａ　Ｉ｛与　列范数ｌＩ　Ａ　ｌｌ　＝ｍａｘ　ｌ口　Ｉ｛是相容的矩阵范　．数　】，由引理２知，Ａ，的特征值Ａ。满足　ｌ　Ａ０　Ｉ≤ＩｌＡ，ｌＩ。：ｍａｘ｛Ｉ　Ｉ，１＋Ｉ口１　ｌ，…，１＋Ｉ　ｉｆｎ－１　Ｉ｝　ｌ　Ａ。Ｊ≤ＩＪ　ＩＪｌ＝ｍａｘＩ　１，∑Ｊ　Ｉ｝　注意到这是定理１的又一证明．　今Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数ＩＩ　Ａ　Ｉｌ，＝（∑∑ｌ口；Ｉ）　也是相容的矩阵范数［２】，故Ａ，的特征值Ａ。满足　Ｉ　Ａｏ　Ｉ≤ＩＩ　＝（ｎ一１＋∑Ｉ口　ｌ　）　（６）　其实，Ｃａｒｍｉｃｈａｅｌ和￣ｔｓｏｎ给出了优于（６）的界［７】：　Ｉ　Ａｏ　Ｉ≤（１＋∑Ｉ口　Ｉ　）。　（７）　下面利用友矩阵给出异于　中的方法证明之．　定理２多项式（２）的根Ａ。满足Ｃａｒｍｉｃｈａｅｌ—　Ｍａｓｏｎ界（７）．　证明：　记　＝［ｆｉｏ，ｉｆ　”，口　］　，　Ｏ　Ｂ＝　则　口；　ｉｆＯｆｉｌ　ｉｆ０ｆｉ２　…　ｆｉＯｆｉｎ—ｌ　。１ｆｉ０　１＋ｆｉ　口１口２　．．・　口ｌ口ｎ—ｌ　Ａ砖：　口２ｆｉ０　口２　ｌ　口＋口　…　ｉｆ２ｆｉ　一１　；　；　ｉ　‘．　ｉ　ｉｆｎ－Ｉ口０　ｉｆｎ－１０１　ｉｆｎ－Ｉｉｆ２…１＋ａ：一ｌ　＝　＋Ｂ　由引理３，得　ｄｅｔ