蒂袆肅蒅莈袅芇芈螇袄羇 第2课时　一元二次不等式及其解法

1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．

2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．

3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

　　　　　　　　　　[对应学生用书P95]

【梳理自测】

1．(教材改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为(　　)

A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)　　　B．(－2，－1)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1，2)

2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)

A. B.

C. D．R

3．设二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，

则ab的值为(　　)

A．－6 B．－5

C．6 D．5

4．(课本精选题)已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为________．

5．不等式组的解集为________．

答案：1.D　2.B　3.C

4．(－∞，－)∪(，＋∞)　5.(0，1)

◆以上题目主要考查了以下内容：

(1)一元二次不等式的解法

①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．

②求出相应的一元二次方程的根．

③利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

(2)三个“二次”间的关系

【指点迷津】　

1．一个技巧

若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．

2．两点提醒

(1)解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏；

(2)二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．

　　　　　　　　　　[对应学生用书P96]

考向一　一元二次不等式解法

　(2013·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．

【审题视点】　先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)＞x，即得不等式的解集．

【典例精讲】　设x＜0，则－x＞0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x＞0时，由x2－4x＞x得x＞5；当x＜0时，由－x2－4x＞x得－5＜x＜0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．

【答案】　(－5，0)∪(5，＋∞)

【类题通法】　解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．

1．(2014·北京市东城区高三检测)“x2－2x－3＞0成立”是“x＞3成立”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，所以x2－2x－3＞0是x＞3成立的必要不充分条件．

考向二　一元二次不等式恒成立问题

　(2013·高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．

【审题视点】　根据开口向上的二次函数定义域为R时函数值非负的条件(Δ≤0)列式直接运算求解．

【典例精讲】　由题意，要使8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥.又0≤α≤π，∴0≤2α≤或≤2α≤2π，解得0≤α≤或≤α≤π.

【答案】　∪

【类题通法】　(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．

(3)一元二次不等式恒成立的条件

①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：

a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．

②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．

2．(2014·广西南宁模拟)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，则(　　)

A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2

C．－＜a＜ D．－＜a＜

解析：选C.(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x成立．

∴x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，

∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，

∴－＜a＜.

考向三　二次函数与二次不等式综合问题

　(2013·高考安徽卷)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．

(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；

(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．

【审题视点】　(1)利用一元二次方程和一元二次不等式的关系，先求出解集．(2)构造函数，利用导数求解函数的单调性和最值．

【典例精讲】　(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}．

因此区间I＝，区间I的长度为.

(2)设d(a)＝，则d′(a)＝(a>0)．

令d′(a)＝0，得a＝1.由于0<k<1，故

当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；

当1<a≤1＋k时，d′(a)<0，d(a)单调递减．

所以当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．

而＝＝<1，

故d(1－k)<d(1＋k)．

因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k，1＋k]上取得最小值.

【类题通法】　二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系．

(1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解．(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系．(3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况．

3．(2012·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．

解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，

∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝.

又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，

∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.

答案：9

　　　　　　　　　　[对应学生用书P97]

　　　　　　　　　　含参数的不等式的规范解答

　(12分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.

【审题视点】　(1)由题意分析知x＝1，x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的根，可求a和b.

(2)讨论根的大小确定解集．

【思维流程】　

　利用根与系数的关系，求a和b.

　因式分解，化简不等式，确定方程根．

　根据方程根的大小，确定解集形式．

　总结分类讨论答案．

【规范解答】　(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0.由根与系数的关系，得

解得4分　

(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，

即x2－(2＋c)x＋2c＜0，

即(x－2)(x－c)＜0.5分　

当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；7分

当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；9分

当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅.11分　

所以，当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；

当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；

当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.12分　

【规范建议】　(1)x＝1，x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的根可以代入求a和b.

(2)分类讨论三种情况；不可把c＝2情况漏掉或归入到其中一种情况．

(3)讨论后要有总结答案．

1．(2013·高考湖北卷)已知全集为R，集合A＝，

B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝(　　)

A．{x|x≤0}　　　　　　　　B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}

解析：选C.先化简集合A，B，再借助数轴进行集合的交集运算．

A＝＝{x|x≥0}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x<2或x>4}，于是A∩∁RB＝{x|0≤x<2或x>4}．

2．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－1，0)

C．(0，1) D．(1，＋∞)

解析：选A.由x＜＜x2可得即

解得综合知x＜－1.

3．(2013·高考安徽卷)函数y＝ln＋的定义域为________．

解析：列出函数有意义的限制条件，解不等式组．

要使函数有意义，需即

即解得0≤1，所以定义域为(0，1]．

答案：(0，1]

4．(2013·高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．

解析：依据已知条件求出y＝f(x)，x∈R的解析式，再借助y＝f(x)的图象求解．

设x＜0，则－x＞0.

∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，

∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．

∵f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝x2＋4x(x＜0)，

∴f(x)＝

由f(x)＝5得或

∴x＝5或x＝－5.

观察图象可知由f(x)＜5，得－5＜x＜5.

∴由f(x＋2)＜5，得－5＜x＋2＜5，∴－7＜x＜3.

∴不等式f(x＋2)＜5的解集是{x|－7＜x＜3}．

答案：{x|－7＜x＜3}

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